4.Модели и методы метрологии, основанные на статистических зависимостях

Анализ публикаций в области прикладной статистики показывает, что в настоящее время количество значимых и полезных публикаций составляет более 100 тысяч, а возраст некоторых фундаментальных работ достигает более 200 лет [68]. Так, например, наиболее популярный из используемых в настоящее время статистических методов - метод наименьших квадратов - К.Гаусс разработал в 1795 году. Современный этап развития прикладной статистики принято отсчитывать с 1900 года, когда К. Пирсон основал журнал «Biometriсa», причем, если первая треть 20 века была посвящена разработке методов параметрической статистики (наиболее популярным было нормальное распределение), то в последующие годы были разработаны непараметрические методы (первые работы в этой области принадлежат Ч. Спирмену , М. Кендаллу, А.Н.Колмогорову). Наиболее подробные таблицы непараметрических критериев приведены в работе [69]

Среди направлений развития современной прикладной статистики:

1.непараметрические методы (учитывающие разнообразные законы распред.вероятности),

2. оценка устойчивости статистических процедур (робастость),

3. замену теоретических исследований вычислительными процедурами, предусматривающую увеличение объема анализируемой статистики за счет «размножения выборок» (бутстреп),

4. математическую статистику интервальных данных, 5.статистику объектов нечисловой природы и т.д.

В соответствии с принятой в настоящее время классификацией [70], статистические методы делятся на Разделы:

1.статистику числовых случайных величин,

2.многомерный статистических анализ,

3. статистику временных рядов и случайных процессов,

4 статистику объектов нечисловой природы (квалиметрия).

Использование того или иного статистического метода для анализа результатов измерения подразумевает использование соответствующего вычислительного приема, желательно, автоматизированного. При этом достаточно обратиться, например, к пакетам Mathcad [71,72] или Mathlab, приобрести электронные учебники по статистике и т.д. Однако данная проблема связана с изучением конкретных методик оценки точности результатов измерения и не рассматривается в учебном пособии.

При решении прикладных метрологических задач анализ статистических данных, основанных на результатах измерения, позволяет:

- определить качественно- количественные закономерности между влияющими факторами и результатами измерений и т.д.,

- возможность или невозможность обменных соотношений между измеряемыми и оцениваемыми параметрами

- значения влияющих факторов, обеспечивающих заданное значение выходного параметра.

Далее рассматриваются такие наиболее часто используемые в метрологии методы, основанные на статистических данных, как дисперсионный и дискриминантный анализ; планирование экспериментов (метод наименьших квадратов, регрессионный анализ); корреляционный анализ; и т.д.

4.1. Статистические модели, используемые при дисперсионном анализе

Использование дисперсионного анализа позволяет ответить на вопрос, оказывает ли существенное влияние некоторый фактор X на исследуемую величину Y. Метод заключается в сравнении дисперсии, возникающей под влиянием факторов X, т.е. факторной дисперсии, с остаточной дисперсией, обусловленной случайными причинами. Если различие между дисперсиями значимо – фактор X существенно влияет на выходной параметр [73].

Дискриминантный анализ [74] используется для принятия решения о том, какие переменные вызывают большие рассеяния выходных величин (различают (дискриминируют) совокупности характеристик оцениваемых объектов). С вычислительной точки зрения дискриминантный анализ аналогичен дисперсионному анализу. Основная идея метода заключается в том, чтобы определить, отличаются ли совокупности по средним значениям той или иной характеристики (или их комбинаций), а затем использовать эту характеристики для классификации объектов по группам. Поскольку при использовании метода обычно имеют дело с несколькими характеристиками, факторами (переменными) , задача также состоит в том, чтобы установить, какие из факторов вносят более значимый вклад в различие между совокупностями. Такая методика аналогична процедуре многомерного дисперсионного анализа.

Рассмотрим алгоритм использования дисперсионного анализа:

1. Исходные данные и обозначения.

Метод предполагает использование экспериментальных значений влияющих факторов и выходных параметров:

y – значение выходного параметра;

- значения влияющих факторов, их количество N;

- значение i-го фактора в j-м измерении, количество измерений m;

- мгновенное значение выходного параметра под влиянием i-го фактора в j-м измерении.

2.Рассчитывают средние значения:

- общее среднее значение выходного параметра;

- среднее значение выходного параметра при i-м значении фактора, т.е. значение, усредненное по измерениям.

3. Рассчитывают дисперсии:

- общая дисперсия;

- факторная дисперсия, т.е. разброс значений выходного параметра под влиянием различных факторов;

- остаточная дисперсия .

4.Оценка значимости различия дисперсий проводится с помощью критерия Фишера (F-критерия), равного дисперсионному отношению

.

Влияние фактора X на параметр Y значимо, если , незначительно, если . Значение определяют по таблицам (Приложение 1) при заданном уровне значимости.