
- •Глава 1
- •10.Квадратичная форма и полярная билинейная форма.
- •20. Матрица квадратичных форм.
- •30. Ограничение билинейной (квадратичной формы) на подпространстве
- •10.Определние ортогональности относительно билинейной формы и свойства.
- •20.Ортогональное дополнение и его свойства
- •Глава 2
- •Глава 3
- •1° Теорема об изоморфности евклидовых (унитарных) пространств
- •2° Линейные формы в евклидовых(унитарных) пространствах и скалярные произведения
- •10 Определение и первый критерий
- •20 Ортогональные операторы и ортонормированные базисы
- •30 Ортогональный оператор и сопреж. К немк (Кр-3)
- •40 Матрица ортог. Оператора
- •Глава 4
- •1° Определения и примеры
- •2° Леммы о высшем члене симметрического многочлена
- •3° Основная теорема о симметрических многочленах
Глава 4
Гл 4 Пр1 Кольцо многочлена от нескольких переменных
основные понятия
R- коммутативное ассоциативное унитарное кольцо
-
независимые переменные
Определение.
Одночленом относительно данных переменных
называется выражение вида
,где
,
,
-
называются степенями одночлена
относительно переменных, k=
-
полная степень одночлена.
Два одночлена
с одинаковыми степенями по всем переменным
называются подобными. Их можно складывать
+
=
Произвольные одночлены можно перемножать
=
Определение. Многочленом от переменных называется конечная сумма одночленов от этих переменных
f(
)=
(*)
Определение. Многочлен, все коэффициенты которого =0 называется нулевым многочленом.
Два многочлена называются равными если их разность – нулевой многочлен.
Максимальная
из степеней одночленов, составляющих
данный многочлен, называется степенью
многочлена [
].
Можно
рассматривать степени и относительно
отдельных одночленов. Максимальная из
степеней многочлена относительно
обозначается
.
Кольцо многочленов относительно нескольких переменных
Операции для одночленов естественным образом переносятся и на многочлены.
Множество
всех многочленов от n-переменных
с коэффициентами из
обозначается
Предложение
с операциями
является коммутативным ассоциативным
унитарным кольцом.
доказательство очевидно
Возможна
ситуация
Например,
рассмотрим кольцо
Ненулевые
элементы a и b
кольца, такие что
называются делителями нуля.
Определение. Коммутативное ассоциативное унитарное кольцо без делителей нуля называется областью целостности
Пример
,всякое
поле
Теорема. Если R-область целостности, то и - область целостности.
Индукция по n
База: n=1
,
где
-область
целостности
(Поскольку
R-область целостности
n,значит
)
Индукционный переход: предположим, что утверждение верно для колец переменных с количеством переменных <n.
Всякий
многочлен от n-переменных
можно рассматривать ,как многочлен от
одной конкретной переменной
При этом
коэффициентами являются многочлены из
.
Таким образом
Согласно
индукционному предположению
-
область целостности. Согласно (**) можно
повторить и получим ,что
-область
целостности.
Следствие.
Если R-область
целостности, то в кольце
степень
Определение. Многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую степень r , называются однородным многочленом степени r или формой степени r.
Пример: Форма степени 2квадратичная форма
Представим многочлены
и
в виде суммы однородных многочленов
Тогда
произведение
все старшие (наибольшие)степени
будут содержаться в
,
т.к. в этом кольце нет делителей нуля
Значения многочлена от нескольких переменных
Пусть кольцо
,
причём
Заметим
Предложение
(+)
Гомоморфизм колец- это отображение, при котором сохраняются операции.
Теорема о тождестве
Известно,
что два различных многочлена
от одной переменной над R
могут иметь одинаковое значение только
на конечном количестве точек n:
если
,
то их значения совпадают не более, чем
в n точках.
Если R-бесконечное
.
Теорема.R- бесконечная область целостности
Если
принимают одинаковое значение во всех
,
то многочлен
Поэтому
.
Достаточно доказать, что если
принимает значение 0 во всех точках
,то
-
нулевой многочлен.
Предположим
противное
Докажем, что
точка, в которой
принимает ненулевое значение.
Индукция по n-количеству переменных
,
то
Иначе бы это означало, что многочлен от одной переменной имеет бесконечно много корней.
Индукционный переход
Предположим, что утверждение верно для многочленов с числом переменных <n.
, причём
-
ненулевой
Следствие(о
несущественности алгебраических
неравенств).Пусть R-бесконечная
область целостности
Если
принимают
одинаковые значения во всех точках
,
в которых
,
,…,
,
где
.
Тогда
Рассмотрим многочлен
легко видеть, что он принимает нулевое
значение во всех точках без
исключения.Поскольку
,
то
Лексикографический порядок на множестве одночленов
Введём на множестве одночленов порядок
выше
(
)
Если
номер i, такой что до i
степени
это отношение линейного порядка со
свойствами:
Предложение. В кольце многочленов , -область целостности
,
(транзитивность)
Рассмотрим
Пусть
-
минимальный из индексов при котором не
все из показателей
одинаковы
причём хотя бы одно из этих неравенств
строгое
При умножении
на
,
к показателям переменных в
прибавляются одни те же слагаемые
.
Высшие члены многочленов
Определение.
Высшим членом многочлена
называется одночлен, который выше всех
других одночленов этого многочлена.
Записав сначала самый высший, затем высший из оставшихся и т.д., получим запись многочлена в лексикографическом порядке.
Замечание. Не следует путать высший член и старший. Старший член имеет высшую целую степень.
Предложение. В кольце , R-область целостности. Высший член произведения многочленов равен произведению высших членов этих многочленов.
У
-все
многочлены
Причём, если
только в
не оба равенства, то
.
Это означает,
что после приведения подобных в
произведении
ни с чем не сократится, поэтому -высший
член
Гл 4 Пр 2 Симетрические многочлены