10 Определение и первый критерий

Определение. Изоморфизм Евклидова пр-ва на себя называется ортогональным оператором, таким образом ортогональный оператор линейный биективный и сохраняет скалярное произведение

Теорема(Критерий 1)

F : Eⁿ → Eⁿ - явл. Ортогональным <=>сохраняет скалярное опред.

,,=>” по опр.

,,<=” достаточно доказать биективность f поскольку f действует из Еⁿ в Еⁿ то достаточно доказать его инъективность.

Пусть a, f ϵ Eⁿ и f(а)=f(в); <=> f(a)-f(в)=0 <=> f(a-в)=0

(a-в)•(a-в)=f(a-в)•f(a-в)= 0•0=0 => a-в=0 a=в – значит инъективно

20 Ортогональные операторы и ортонормированные базисы

Теорема (Критерий2)

Лин. Опр-р ортогон.<=> когда он переводит ортонорм. б. в ортонорм базис.

сохр. ск. пр-е а значит сохр. ортогон-ть векторов и длина векторов поэтому если О.Н.Б , то ? попарно ортогон-х векторов единичной длины.

Ранее было пок. что сов-ть попарно ор-х длин нез. век. и что это набор лин. нез. и это базис т.к

кол-во совпад. с разм-ю.

“<=” лин. оператор ортон. б. - ортон. б. сыл. кр-1 чтобы пок. что ортог.  чтобы он сохр. скалярное произв-ею

Пусть a,b э а = , b = тогда аb= т.к О.Н.Б

30 Ортогональный оператор и сопреж. К немк (Кр-3)

Tеорема. Линейный опер. =1 когда опер. ортог  сохр. скалярное пр-е. a,b из E -  . a,b из Е   b из 

40 Матрица ортог. Оператора

ортогон. если

В матричной форме это означает А^Т А=Е

Теорема. Линейный оператор Евклидова пр-ва явл-ся ортогональным <=> когда его матрица в ортонорм. базисе ортогональна.

согласна КР3. ортогональность оператора f <=> f^*f= A Если А- матрица f в некотором ортонорм. Базисе, то ранее мы доказали что матр. F^* в таком же базисе будет А^т ; рав-во (*) в матр. Ор. Принимает вид А^т А=Е

Гл 3. Пр.4 Инвариантные подпр-ва и канонич. вид матрицы ортогон. оператора.

Ортогон. дополн. подпр-ва, инв-го отн-но ортогон. оператора.

Теорема. Пусть W- подпр-во , инв-ое отн-но ортогон. оператора f на . Тогда также явл. инв-ым отн-но f.

Пусть f(W) W. инв. отн. f*, т.е. инв-но отн. Это значит, что ) . Поскольку невырожд., то ) . Применим к посл. рав-ву оператор f: f( ))=f( ) ⇒ f( ) – инв-но ⇒ инв-но отн-но f.

Лемма об 1,2-мерных подпр-вах, инв. отн. лин. оператора.

Лемма. не нулевого, лин. оператора f действ. пр-ва V инв-ое отн. f 1-мерное или 2-мерное подпр-во.

Пусть у f собств.вектор a . Тогда L(а) – искомое 1-мерное подпр-во. действительно f(а)= a, где -собств. значение. Поэтому х L(a), т.е. х=αa (α ), f(x)=f(αa)= αf(a)= α a, α a L(a) ⇒ f(L(a)) L(a). Предпол. что действ. собств. вектора ⇒ собств. знач., т.е. характ. мн-н не имеет действ. корней. Но имеет -компл. корень характ. мн-на и c=a+bi –соотв. ему компл. вектор (a,b -действ. векторы).

F –матрица f; C=A+Bi -- вектор столбец, коорд. вектора с в том же базисе. Тогда f(c)= c в матр. Форме ⇔ F(A+Bi)=( (A+Bi);

FA+FBi= +( )i;

Данное матр. данное означает: (+) ,

Где a,b – векторы, имеющие в данном базисе вектор-столбцы коорд. А,В.

Система (+) пок-т, что L(a,b) инв. отн-но f.

Т. о разлож. в прямую сумму подпр-в, инв-х отн. ортогон. опер-ра.

Теорема. Пусть f-ортогон. оператор , тогда -прямая сумма попарно-ортогон-х 1-мерных или 2-мерных подпр-в инв. отн-но f.

Индукция по n=dim

База индукции n≤2

Индукционный переход. Предпол., что утв. верно для пр-в разм-ти <n. Док-м, что тогда оно верно и для разм. n.

В (dim =1,2) инв. отн. f. Тогда = , причем -инв. отн-но f. Поэтому ограничение оператора f на явл. лин. оператором на , причем поскольку (x)=f(x), х , то явл. ортогон. операт. на .

Т.к. dim <n, то согл. инд. предпол. = попарноортогон. подпр-в разм-ти 1 или 2, инв-х отн. . Поскольку на этих подпр-х на , то они инв-ны также и отн. f. Поэтому - искомое разложение.

Собств. знач. и определитель ортогон. оператора.

Предложение 1. Действ. собств. знач. ортогон. оператора (ортогон. матрицы) равны ±1.

Пусть а-собств.вектор ортогон. оператора f, - соотв. собств. знач.

aa=f(a)f(a)=( = (aa), a - собств. вектор ⇒ a 0 ⇒ aa 0 ⇒ =1 ⇒ =±1.

Предложение 2. Определитель ортогон. матрицы detA=±1.

Пусть А-ортогон. матрица. По опр. ; det( )=1; det( )detA=1; =1 ⇒ detA=±1.

Ортогон. операторы и .

Предложение 1. В пр-ве только 2 ортогон. оператора: f(x)=x, f(x)=-x.

f – ортогон. оператор в . Поскольку f – ортогон., то f(x)= x для некоторого ⇒ - собств. знач., =±1 ⇒ f(x)=x , или f(x)=-x

Предложение 2. В любой ортогон. оператор имеет в подходящем ОНБ матрицу или для некоторого .

А-матрица ортогон. оператора f в некотором ОНБ ⇒ А – ортогон. ⇒ detA=±1.

detA=-1; А= Рас-м характ. мн-н этой матрицы свободный член – оределитель.

=( )( )- =

-( +( = ⇒ Характ. мн-н имеет 2 корня(+ и - ) ⇒ =-1; D>0; ( ) ⇒ =1; =-1.

Пусть , - единичные собств. векторы, отв-е этим собств. знач.

f( = , f( )= . В данном базисе , матрица:

detA=1; =1 ……(1)

…..(2); =0 ……(3) ;

Из (2) ⇒ = ; = , для некоторого .

Из равенств (1),(3) ⇒

Det= =1≠0 ⇒ сущ. единств. реш-е

А=

Канонический вид матрицы ортогон. оператора.

Теорема. ортогон. оператора f: ОНБ в котором f имеет матрицу вида:

(*)

Пр-во представляется как -прямая сумма попарноортогон. 1,2-мерных подпр-в, инв-х отн. ортогон. оператора f. Ограничение f на каждое подпр-во само явл. ортогон. оператором на этом подпр-ве. ОНБ в каждом в которых это ограничение оператора f имеет матрицу вида:

(1), (-1), ,

Объединив все эти базисы получим базис всего пр-ва, в котором f имеет клеточно-диагональную матрицу с диаг. эл-ми, указанного выше вида. Изменив при необх. Порядок базисных эл-ов, можно получить матрицу вида (*).

Следствие. Всякая ортогон. матр. А ортогонально подобна некоторой матрице вида (*). (т.е. ортогон. матрицы А ортогон. матрица С | АС=В - имеет вид (*)).

Пусть f- оператор на с ортогон. матр. А ⇒ f – ортогон. Согл. Т. ОНБ, в котором f имеет матрицу В вида (*).

Пусть С- матрица перехода от того ОНБ, в котором f имел матрицу А, к тому ОНБ, в котором f имеет В. Согл. преобр. АС=В (+), т.к. С – матрица перехода от ОНБ к ОНБ, то она ортогональна.

Замечание. Поскольку для ортогон. матрицы = , то (+): АС=В.

Гл3 Пр5 Унитарные Операторы

Определение, критерии и матрица унитарных операторов.

Определение. Изоморфизм унитарного пр-ва называется унитарным оператором.

Теорема 1: Линейный оператор f: > является унитарным <=> он сохр. Скалярное произведение.

Теорема 2: Линейный оператор f: > является унитарным <=> он переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Теорема 3: Линейный оператор f: > является унитарным <=> f*f= (Тождественный оператор)

Определение : Каждая матрица называется унитароной, ести A*A=E, где А*= Āᵗ.

Теорема: f: > <=> его матрица в ОНБ

f-унитарный <=> f*f=

A*A=E, А – матрица f.

Инвариантроне пр-во и конечный вид матрицы ун-го оператора.

Теорема1: W – подпространство , инвар. относ. f: > .

Тогда W┴ инвариантно относ. f.

Предложение 2: β – единственное собств. значение унитарного оператора f. Тогда | β |=1.

а- собственный вектор, соотв. β .

а·а=f(a)·f(a)=(βa)·(βa)=| β |²(a·a)

a≠0=>а·а≠0, тогда | β |²=1 =>| β |=1

Предложение 3: А- унитарная матрица, тогда |det A|=1

Согласно определению унитарной матр. Имеем A*A=E.

Det(A*A)=1 => det A*·det A=1 => det Ā·det A=1 => |det A|²=1 => |det A|=1

Теорема: f унитарный оператор f: > . Существует ОНБ пр-ва в которой f имеет унитарную матрицу diag(β1, … , βn) где |βi|=1.

Следствие: Любая унит. Матрица А унитарно подобна диагональной матрице B=diag(β1, … , βn) где |βi|=1. Т.Е. для любой унит. матр А существует унитарная матрица С | , где B=diag(β1, … , βn) где |βi|=1.

Гл3 Пр6 Самосопряженные операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Определения и матрицы

Определение. Пусть f: V͢͢͢͢V, где VEⁿ(или Uⁿ) f. – наз. самосопряженным, если fⁿ=f

Теорема: Пусть f:VV – лин. оператор, А – матрица f в ОНБ.

Если V=Eⁿ, то f – самосопряженое  A= A^t – самосопряженная матрица

Если V=Uⁿ, то f – самоспряженное  A=A^* - эрмитова матрица

A-f, то A^t – f^* (V=Eⁿ)

A^* - f* (V=Uⁿ)

f=f^* в матр. виде A^t=A или A*=A.

Инвариантные подпро-ва относительно самосопряж. оператора

Теорема: Пусть W – подпр-во Eⁿ или Uⁿ инвариантно относительно самосопряж. оператора f, тогда W° так же инвариантно относительно f.

Док. W° инвариантно относительно f^*

f^*=f => W° инвариантно относительно f.

Предложение: При любом самосопряжении оператора f на Eⁿ или Uⁿ сущ. одномерное подпр-во инвариантно относительно f

Eⁿ, W – 2-мерное подпр-во инвариантное относительно f

f₁ – ограничение f на W

f₁^* = f₁ (f₁ – f на W)

f₁^* - симметр.

A= (a₁₁ a₂₁)

(a₂₁ a₂₂)

Характеристический многочлен этой матрицы:

|a₁₁-λ a₁₁|

|a₂₁ a₂₂-λ| = λ²-(a₁₁-a₂₂)λ+a₁₁a₂₂-a₁₂²

Д=(a₁₁-_a22)²-4(a₁₁a₂₂-a₁₂²)=(a₁₁+a₂₂)-4a₁₁a₂₂+4a₁₂²=(a₁₁-a₂₂)²+4a₁₂² >= 0

Существуют действительные корни. Пусть λ – один из них

a – собственный вектор W соответствующий собственному значению λ

L(a) – одномерное подпр-во инвариантное относительно f => инвариантно относительно f.

Конанический вид матрицы

Теорема: Пусть V Eⁿ или Uⁿ

F – самосопряженный оператор на V

Тогда V – является прямой суммой попарно ортагональных одномерных подпр-тв инвариант. относительно f

Такое же как и для ортагонал. и унитар. операторов.

Теорема: Любое самосопряж. оператора пространство Eⁿ или Uⁿ существует ОНБ состоящий из собственных векторов оператора f. Матрица в этом базисе диагональная с собственным значением на диагонали.

Такое же как и для ортагонал. и унитар. операторов.

Следствие: Всякие действ. симметрическая (комплекс. эрмитова) матрица ортагонально (унитарно) подобна некоторой действительной ортагональной матрице.

A сущ. ортагон. (унитарн.) принадлежит / B=C^-1AC – диагонал.

Гл 3 Пр7 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Теорема

Теорема. квадратичной формы F(x) преобразование X=CY с ортогональной матрицей С, приводящей квадратичную форму к каноническому виду: , где -собственное значение матрицы квадратичной формы F(x)

пусть А – матрица квадратичной формы F(x), тогда А – действительно симметрическая, значит, диагонально подобна ортогональной матрице т.е. ∃ ортогональная матрица С | AC=В, где В=diag( , где собственное значение матрицы А на диагонали. Применим к F(x) линейное преобразование X=СУ, тогда матрица квадратичной формы будет равна = = diag( )

Приведение к каноническому виду пары квадратичных форм

Теорема. Пусть F(x), G(x) – квадратичные формы, причем F(x) положительно определена, тогда невырожденное линейное преобразование переменных, которое приводит каждую из этих форм к каноническому виду.

т.к. F(x) – положительно определена, то невырожденное линейное преобразование Х=ТУ, которое приводит квадратичную форму F(x) к нормальному виду: F(x)= Матрица квадратичной формы равна Е. Это же преобразование приводит G(x) к некоторому виду . Можно привести линейное преобразование Y=CZ к каноническому виду (С-ортогональная матрица). После преобразования квадратичная форма F будет иметь матрицу , т.е. ее вид не изменится и канонический вид будет: , таким образом X=(TC)Z приводит обе эти квадратичные формы к каноническому виду.

Гл 3 Пр8 Полярное разложение

Определение. Полярное разложение – это разложение линейного оператора в произведение ортогонального и самосопряженного.

Теорема. невырожденного линейного оператора f на евклидовом пространстве ортогональный оператор h и самосопряженный оператор g на

(доказательство включает в себя лемму с доказательством): пусть (*) имеет место. Выясним, каким должен быть g.

f*=(hg)*=g*h*=g, тогда f*f=g , значит, g должен быть таким, что . (**)

Лемма: пусть f – невырожденный линейный оператор на , тогда f*f – самосопряженный, все собственные значения которого положительны.

: (f*f)*=f*(f*)*=f*f, ƛ-собственное значение f*f, a – собственный вектор. (f*f)(a)·a=(ƛa)·a=ƛ(a·a)

(f*f)a·a=f*(f(a))·a=f(a)·f(a)

ƛ(a·a)=f(a)·f(a).

ƛ(a·a)>0 и f(a)·f(a)>0, следовательно ƛ>0.

Покажем, что самосопряженный оператор g, удовлетворяющий условию (**), существует:

т.к. f*f – самосопряженный, то ортонормированный базис пространства в котором матрица f*f:A=diag( -собственное значение оператора f*f. Рассмотрим матрицу В=diag( ,…, ) (ƛ>0)

g-оператор с матрицей В. В-симметрическая, следовательно g – самосопряженный, причем =A, f*f, т.о. g – искомый оператор.

Покажем, что h: h однозначно определяется из равенства f=hg, нужно доказать, что h – ортогональный: h*h=(f *f =( *f*f = (тождественная единица)

Следствие: всякая невырожденная действительная матрица А раскладывается в произведение A=HG, где H-ортогональная матрица, G-симметрическая.