30.Система булевых функций. Кратчайшая и безызбыточная системы днф.

Определение. Множество булевых функций,

зависящих от одних и тех же переменных и рассматриваемых как единый объект, называется системой булевых функций.

Система булевых функций может рассматриваться как мате­матическая модель дискретного устройства. В этом случае ста­вится задача построения схемы из логических элементов, реали­зующей эту систему функций.

Определение. Длиной системы ДНФ называется число раз­личных конъюнкций, входящих во все ДНФ системы.

Определение. Рангом системы ДНФ называется сумма ран­гов различных конъюнкций, входящих во все ДНФ системы.

Пример. Рассмотрим систему ДНФ.

В ДНФ системы входят шесть различных конъюнкций, сумма их рангов равна 15. Значит, длина этой системы 6, ранг 15.

Определение. Кратчайшей системой ДНФ (D_крат) систе­мы булевых функций на­зывается система ДНФ наименьшей длины из всех систем ДНФ, задающих систему F.

Определение. Безызбыточной системой ДНФ (D_без) систе­мы булевых функций на­зывается система такая, что:

• удаление любой конъюнкции K из любой ДНФ D_i приводит к тому, что D_i перестает задавать функцию f_i(x₁,... ,x_n),

• если конъюнкция K входит в ДНФ D_i1,...,D_ik, то удале­ние любой буквы из K приводит к тому, что по крайней мере одна из этих ДНФ перестает задавать функцию f_ij (x₁, . . . , x_n).

Понятно, что система безызбыточных ДНФ будет также и безыз­быточной системой ДНФ, обратное же не всегда верно.

31. Получение приближенной кратчайшей системы днф методом конкурирующих интервалов.

Определение. Минимизировать систему булевых функций это значит построить ее кратчайшую систему ДНФ.

Конечно, как и в случае одной булевой функции, возможны и другие постановки задач: построить все кратчайшие системы ДНФ, систему наименьшего ранга и так далее. Кроме того, так как минимизация системы булевых функций более сложна, чем минимизация одной функции, часто на практике строится при­ближенная кратчайшая система ДНФ, то есть система ДНФ, близкая по длине к кратчайшей.

Кроме того, часто ставится задача построения безызбыточной системы ДНФ. Это связано как с тем, что безызбыточные системы ДНФ часто оказываются близкими по длине к кратчайшим, так и с тем, что схемы, построенные по безызбыточным системам ДНФ, удобны для диагностики.

Как было показано ранее, кратчайшая система ДНФ и система кратчайших ДНФ не являются равнозначными понятиями. Поэтому при минимизации системы булевых функций все функции необходимо рассматривать как единый объект. Как правило, для решения этой задачи модифицируются методы минимизации од­ной булевой функции. Рассмотрим метод конкурирующих интер­валов в применении к системе булевых функций.

Во-первых, точки и интервалы сопровождаются обозначени­ями или номерами функций. Так, запись α(1) означает точку α функции f₁(x₁,..., x_n), а запись I(1, 3) - интервал I, допустимый для функций f₁(x₁,..., x_n) и f₃(x1,..., x_n) и включенный в до­статочное множество этих функций.

Во-вторых, расширение интервала I(j₁, . . . ,j_k) до точки α(i) сопровождается номерами функций (i, j₁,..., j_k).

В-третьих, интервал I(j₁, . . ., j_k) и точка α(i) совместимы, если и только если интервал I'(i,j₁, ...,j_k) = [I(j₁, . . .,jk),α(i)] допу­стим для функции f_i(x₁, . . . , x_n), f_j1 (x₁, . . . , x_n),. . ., f_jk (x₁,...,x_n).

Пример. Рассмотрим систему F из предыдущих примеров.

Рассмотрим точку α(f) = 1100 и интервал I(g,h) = 111-. Минимальное расширение интервала I(g,h) до точки α(f) (интервал I'(f,g,h) = 11 ) не является допустимым для функции h(a, b, c, d) и, следовательно, не может быть включен в решение. Однако если рассмотреть интервал I(g) = 111- и ту же точку α(f), то интервал I'(f,g) = [I(g),α(f)] = 11-- будет допусти­мым для функций f(a, b, c, d), g(a, b, c, d) и может быть включен в решение для этих функций.

В-четвертых, интервал I(j₁,... ,j_k) при применении правила столбца без единиц расширяется так, чтобы он оставался допу­стимым для всех функций f_j1(x₁,...,x_n),..., f_jk(x₁,...,x_n).