2. Оптимальный полином Жегалкина, доопределяющий частичную булеву функцию.

Рассматривается задача о нахождении доопределения частичной функции, которому соответствует полином Жегалкина наименьший в смысле числа слагаемых. Получен и программно реализован новый алгоритм решения этой задачи, основанный на использовании алгебраической структуры кольца булевых функций, в частности, на использовании явного описания идеалов этого кольца в терминах характеристических функций. Рассмотрен частный случай строения множества неопределенности, позволяющий напрямую вычислить искомое доопределение.

Пусть f(x) – булева функция n переменных, значения которой на произвольном множестве X{0,1}ⁿ неизвестны. Пусть также |X| = m. Функцию f(x) можно доопределить 2^m различными способами, каждому из которых будет соответствовать некоторый полином Жегалкина [1] определенной длины. При исследовании логических схем, описываемых полиномами Жегалкина, нередко возникает задача о нахождении такого доопределения f(x) на множестве X, которому будет соответствовать полином с наименьшим числом одночленов.

Множество булевых функций является коммутативным кольцом R с единицей. Пусть I(Y) – множество функций из R, равных нулю на Y. Тогда всякий идеал I кольца R имеет вид I(Y) для некоторого Y{0,1}ⁿ. Сопоставление Y↔I(Y) определяет взаимно однозначное соответствие между идеалами кольца R и подмножествами из {0,1}ⁿ. Характеристическая функция подмножества Х есть функция f_X такая, что f_X принимает значение 1 только на Х. Пусть Y={0,1}ⁿ\X. Базис идеала I(Y) как пространства над полем из двух элементов составят характеристические функции f_x, точек xX. Тогда любые два доопределения функции f(x) отличаются на функцию, являющуюся линейной комбинацией характеристических функций точек xX. Следовательно, перебор всех доопределений сводится к перебору 2^m линейных комбинация характеристических функций. Будем говорить, что точке x=(x´₁,…,x´_n) соответствует одночлен полинома Жегалкина g_x, если переменная x_i входит в g_x тогда и только тогда, когда x´_i = 1. Введем на множестве одночленов отношение частичного порядка: g_x < g_y если i: x_ig_x  x_ig_y.

Теорема 1. Полином Жегалкина характеристической функции f_x является суммой одночлена g_x и всех одночленов g_y: g_x < g_y.

Эта теорема показывает, что полиномы характеристических функций точек можно определить непосредственно.

Также рассматривается частный случай строения множества X. Именно, пусть для всякого хХ и всякого у{0,1}ⁿ\Х верно, что х>y или х и у несравнимы.

Теорема 2. В этом случае оптимальное доопределение частичной функции может быть найдено по прямым формулам, без использования перебора всех доопределений.

Предлагаемый метод имеет вычислительную сложность порядка (2ⁿ+2^m)2^m, что при больших n существенно ниже, чем вычислительная сложность метода, описанного в [1], которая равна O((2ⁿ - m)³2^m). Кроме того, предлагаемый метод имеет существенное преимущество перед методом, изложенным в [1], в случае, когда для одного и того же множества переменных рассматриваются различные множества неопределенности X.