24. Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева: Вероятность того. Что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше , чем 1-D(X)/(ε^2):

P (|X-M(X)|<ε) ≥ 1-D(X)/(ε^2)

Доказательство: т.к |X-M(X)|<ε и |X-M(X)|≥ ε противоположны то, сумма их вероятностей ровна 1, т.е P (|X-M(X)|<ε)+Р(|X-M(X)|≥ ε)=1 т.е

P (|X-M(X)|<ε)= 1- Р(|X-M(X)|≥ ε)

Напишем выражение дисперсии случайной величины

D(X)= [x1-M(X)]^2 *p1 + [x2-M(X)]^2 *p2+…+[xn-M(X)]^2*pn

Все слагаемые этой суммы неотрицательные. Отбросим те слагаемые у которых (|Xj-M(X)|<ε (для оставшихся слагаемых |Xj-M(X)|≥ ε) вследствие чего сумма может только уменьшится. Условимся считать для определенности . что отброшено k первых слагаемых. Т.е:

D(X)≥ [xk+1-M(X)]^2 *pk+1 + [xk+2-M(X)]^2 *pk+2+…+[xn-M(X)]^2*pn

,\обе части неравенства |Xj-M(X)|≥ ε (j=k+1, k+2, ….n)положительны , поэтому возводя в квадрат . получим равносильное неравенство |Xj-M(X)|^2≥ ε^2. Воспользуемся этим замечанием и заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |Xj-M(X)|^2 числом ε^2 (при этом неравенство может лишь усилится). Получим D(X)≥ε^2(pk+1+pk+2+…pn).

По теореме сложения, сумма вероятностей pk+1+pk+2+…pn есть вероятность того . что Х примет одно, безразлично какое , из значение xk+1, xk+2,…xn, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |Xj-M(X)|≥ ε, отсюда следует , что сумма pk+1+pk+2+…pn выражает вероятность Р(|X-M(X)|≥ ε т.е D(X)≥ε^2* Р(|X-M(X)|≥ ε), или

Л8Р(|X-M(X)|≥ ε)≤ D(X)/ε^2 т.е

P (|X-M(X)|<ε) ≥ 1-D(X)/(ε^2) что и требовалось доказать

25. Закон больших чисел Чебышева.

Теорема: Если Х1, Х 2 , ….Хn – попарно независимые случайные величины , причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то , как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства | (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n |< ε будет как угодно близка к единице , если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами lim n→∞P (| (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n |< ε) = 1

Доказательство: Введем в рассмотрение новую случайную величину- среднее арифметическое случайных величин Х̅ = (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n

Найдем математическое ожидание Х̅ :

М(Х1,+Х 2 + ….Хn)/n)= (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n (*)

Применяя в величине Х̅ неравенство Чебышева. Имеем P (| (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – М(Х1,+Х 2 + ….Хn)/n |< ε)≥1- (D((Х1,+Х 2 + ….Хn)/n))/ ε^2 или , учитывая (*) получаем

P (| (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n |< ε)≥1- (D((Х1,+Х 2 + ….Хn)/n))/ ε^2 (**)

Пользуясь св-ми дисперсии, получим D(Х1,+Х 2 + ….Хn)/n)= (D(Х1)+D( Х 2 )+ ….D(Хn) )/n^2

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е имеют место неравенства D(Х1)≤С, D(Х 2)≤С ….; D(Хn)≤С поэтому (D(Х1)+D( Х 2 )+ ….D(Хn) )/n^2 ≤(С+С+…+С)/n^2=nC/n^2=C/n

D(Х1,+Х 2 + ….Хn)/n)≤С/n (***)

Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) имеем

P (| (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n |< ε)≥1- С /(n*ε^2)

Отсюда переходя к пределу n→∞ получим

lim n→∞P (| (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n |< ε) ≥ 1, учитывая то, что вероятность не превосходит единицу, окончательно можем написать

lim n→∞P (| (Х1,+Х 2 + ….Хn)/n – (M(Х1)+M( Х 2 )+ ….M(Хn) )/n |< ε) = 1