Тема 5: «Числовые характеристики случайных величин»

Числовые характеристики СВ в сжатой форме выражают наиболее существенные особенности ее распределения.

Математическое ожидание M(X) характеризует положение СВ на числовой оси. Оно является некоторым средним значением СВ и означает цент рассеяния всех ее возможных значений.

Формулы для вычисления:

.

Свойства M(X):

1. , где ;

2. ;

3.

4. – только для независимых СВ!

Дисперсия D(X) характеризует степень рассеяния отдельных значений СВ относительно центра, т.е. относительно M(X) и определяется как

,

где

.

Дисперсия характеризует точность измерений, если x_i - результаты измерений некоторой СВ X и имеет размерность квадрата размерности СВ, что делает ее неудобным показателем точности измерений. Поэтому дополнительно дисперсии вводится числовая характеристика

,

которая называется средним квадратическим отклонением. Она имеет ту же размерность, что и СВ и является более удобной в качестве показателя точности измерений.

Значение СВ которому соответствует максимальная плотность вероятности, называется Модой этой СВ:

.

Мода Mo – наиболее часто встречающееся значение СВ.

Значение Me случайной величины X, при котором

называется медианой этой СВ.

Медиана (Ме) – срединное значение случайной величины/

Мода и медиана – дополнительные числовые характеристики положения СВ.

Тема 6: «Нормальный и биномиальный законы распределения»

Нормальный закон распределения описывает распределение непрерывной СВ и наиболее часто встречается на практике. Ему подчиняются, например, случайные ошибки измерений и сами результаты измерений. Нормальное распределение принято за эталон.

Если НСВ X подчиняется нормальному закону распределения, то это записывают так: , где M_X и σ_X – параметры распределения. Так случайные ошибки измерений , т.е. математическое ожидание M_∆ случайной ошибки равно нулю.

Плотность вероятности нормального распределения:

Функция F(x) нормального распределения:

.

После замены переменных и введения переменной

и .

Для вычисления вероятности попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал [α, β) применяется формула

,

где и .

Если аргумент t отрицательный, то F(– t) = 1 – F(t).

Значения функций F(t) и f(t) приведены в соответствующих таблицах, а также могут быть получены на компьютере (EXEL, MathCad и т.п.).

Для вычисления вероятности попадания СВ X, имеющей M_X = 0, т.е. нулевое математическое ожидание (например, случайная ошибка измерений) в интервал с симметричными границами удобнее использовать функцию Лапласа (интеграл вероятностей) Ф(t):

или ,

где , т.к. M_X = 0. Тогда .

Таблица значений функции Лапласа

t	Ф(t)	t	Ф(t)
0	0	2.0	0.955
0.5	0.383	2.5	0.988
1.0	0.683	3.0	0.997
1.5	0.866	3.5	1.000

Биномиальный закон распределения описывает распределение дискретной СВ

в n испытаниях Бернулли.

В этих испытаниях возможные значения ДСВ X = k : 0, 1, 2,…,n , а вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли.

Ряд распределения для биномиального закона имеет вид:

X = k	0	1	2	…
Pk(n)	P0(n)	P1(n)	P2(n)	…	Pn(n)

. При этом всегда

Основные числовые характеристики биномиального распределения можно получить по простым формулам:

– мат. ожидание;

– дисперсия;

– ср. кв. отклонение.

При большом числе испытаний n вычисление вероятностей P_k(n) по формуле Бернулли имеет малое практическое значение. Чаще возникает задача определения вероятности Р_{(α≤X≤β)(n)} попадания ДСВ на заданный интервал ее значений, которая решается согласно теореме Муавра-Лапласа. В ней утверждается, что предельным случаем биномиального распределения, когда n →∞, причем ни одна из величин p и q не очень мала, – является нормальное распределение. Тогда

,

где F(t) – функция нормального распределения.