51. Предельный переход по параметру, непрерывность несобственных интегралов, зависящих от параметров

) Если функция f(x, у )для почти всех  непрерывна по ув области  и если существует интегрируемая в Rⁿфункция g(x)такая, что для каждого   и для почти всех   справедливо неравенство   то интеграл J(y)является непрерывной функцией ув области G.

2) Если функция f(x, t), определенная при     для почти всех   и каждого   имеет производную  к-рая для почти каждого   является непрерывной функцией tна интервале (а, 6), и если существует интегрируемая в Rⁿ функция g(x)такая, что для каждого  и для почти всех   справедливо неравенство   то из существования при нек-ром   интеграла

1. Предельный переход под знаком интеграла.

Пусть для функции f (x,  ) при  существует конечная предельная функция   (х), т.е.

, (х из Х)

и f (x,  ) – интегрируемая и стремится к  (х) равномерно относительно х в конечном промежутке [a, A] при любом А>a. Если, сверх того, интеграл

сходится равномерно относительно   (в области  ), то имеет место следующая формула:

. (84)

50. несобственные интегралы, зависящих от параметров, их равномерная сходимость.

Достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра

Пусть функция f (x,  ) интегрируема по х в конечном промежутке [a, A] (A   a).

Если существует такая, зависящая только от х функция  (х), интегрируемая в бесконечном промежутке  , что при всех значениях   в 

 

то интеграл (79) сходится равномерно относительно   (в указанной области его значений).

В этих условиях иногда говорят, что f (x,  ) имеет интегрируемую мажоранту  (х) или что интеграл мажорируется сходящимся интегралом  .

49. Дифференцирование по параметру собственного интеграла с переменными пределами интегрирования

Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную   на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

 (2.3)

Доказательство. Так как   непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у   [с; d] можем написать равенство

 (2.4)

Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства (2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:

 (2.5)

По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:

что и требовалось. ■ Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у   [с; d], функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и   [с; d] выполняется а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл

 (2.6)