Теорема о гомеоморфизме

Пусть   — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть   — биекция. Тогда   является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда   строго монотонна и непрерывна на 

31.Маршруты циклы и пути

Путем в графе (или маршрутом в орграфе) называется чередующаяся последовательность вершин и ребер (или дуг - в орграфе) вида v₀, (v₀,v₁), v₁, ... , (v_n-1,v_n), v_n. Число n называется длиной пути. Путь без повторяющихся ребер называется цепью, без повторяющихся вершин - простой цепью. Путь может быть замкнутым (v₀=v_n). Замкнутый путь без повторяющихся ребер называется циклом (или контуром в орграфе); без повторяющихся вершин (кроме первой и последней) - простым циклом.

Маршрут в графе (путь в орграфе) из вершины i в вершину j – последовательность вершин и ребер (дуг), инцидентных двум соседним вершина

Путь = ориентированный маршрут.

Первая вершина последовательности – начальная вершина маршрута (пути). Последняя вершина последовательности – конечная вершина маршрута (пути). Остальные вершины последовательности – внутренние вершины маршрута (пути).

Длина маршрута (пути) – количество ребер (дуг) маршрута (пути).

Вес маршрута (пути) – сумма весов ребер (дуг) маршрута (пути).

Замкнутый маршрут (замкнутый путь) – маршрут (путь), у которого первая и последняя вершины совпадают.

В замкнутом маршруте (замкнутом пути) вхождение последней вершины не учитывается при подсчете числа вхождений вершин графа (орграфа) в маршрут (путь).

Простой маршрут (простой путь) – маршрут (путь) без повторяющихся вершин.

Цепь (орцепь) – маршрут (путь), в котором ребра (дуги) проходятся один раз.

Простая цепь (простая орцепь) – цепь (орцепь) без повторяющихся вершин.

Петля – цепь (орцепь), содержащая один узел и одно ребро (одну дугу).

Расстояние между двумя вершинами графа (орграфа) – длина кратчайшей цепи (орцепи) между этими вершинами.

Цикл – замкнутая цепь.

Контур – замкнутая орцепь.

Простой цикл (простой контур) – замкнутая простая цепь (простая орцепь) с совпадающими начальной и конечной вершинами.

Если две вершины соединены цепью, то существует простая цепь, соединяющая эти две вершины. Для этого надо в цепи удалить внутренние циклы.

Если две вершины соединены орцепью, то существует простая орцепь, соединяющая эти две вершины. Для этого надо в цепи удалить внутренние контуры.

Ациклический граф (орграф) – граф (орграф) без циклов (контуров)

.

32.Матрицы смежности и инцидентности

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

 Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, при этом в зависимости от конкретных приложений элемент   может считаться равным либо одному (как показано ниже), либо двум.

Граф	Матрица смежности

a_ij — число рёбер, связывающих вершины   и  , причем в некоторых приложениях при каждая петля (ребро   при некотором  ) учитывается дважды.

Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

Матрица инцидентности — одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки — вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность).

Не используется для графов с петлями, так как у петель одна вершина является и началом, и концом.

В каждом столбце должны стоять две единицы, а все остальные символы - нули.