17.Размещение с повторениями и без

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» (объектов) на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально,размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных же n элементов.

Пример 1:   — это 4-х элементное размещение из 6-ти элементного множества  .

Пример 2: некоторые размещения элементов множества   по 2:         ...       ...  ...

В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы   и   являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов   (то есть совпадают как сочетания).

Размещение с повторениями

Размещение с повторениями или выборка с возвращением^[4] — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз.

[Править]Количество размещений с повторениями

По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозначаемое  , равно:

Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:

Размещение с без повторений.

В размещении с повторениями были допустимы повторы элементов в каждой ячейке. Как на примере кодового замка - одну крутящуюся "крутилку :)" с цифрами можно сопоставить с одной ячейкой, а цифры от нуля до девяти на ней - элементами. Очевидно, что может быть несколько ячеек с одинаковой цифрой. "Отоно шо, Мыхалыч, от оно шо", потому и называется размещения с повторениями. А что если ячейками является несколько стульев, а элементами люди? Очевидно, что на трех разных стульев не может сидеть один и тот же человек (Конечно если он не наберется наглости и не ляжет вдоль стульев, чем эффектно испортит весь эксперимент). Вот как раз в такие моменты и используется формуларазмещения без повторения которая выглядит вот так: Где m - количество элементов, а k - количество ячеек. m! - рассчитывает все возможные варианты комбинаций данных элементов. (m-k)! - все возможные варианты элементов оставшихся без ячеек. Разделив одно на другое - каким-то боком узнаем, все варианты размещения без повторений

18.Перестановки и сочетания

Перестановки.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:

abc, bac, cab, acb, bca, cba.

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом 

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)

Пример: 

Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:

ab, ac, bc.

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом  :

(В числителе и знаменателе по k множителей).

Пример: 

Полезные формулы:

Например: