14. Сравнение множеств. Мощность(бесконечные множества)

Бесконечное множество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

Множество, в котором для любого натурального числа   найдётся конечное подмножество из   элементов.

Множество, в котором найдётся счётное подмножество.

Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.

Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называютсяалефами (англ.) и обозначаются   где индекс   пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является   (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют 

Определение. Множества A и B называются равномощными, если между A и B существует взаимно однозначное соответствие (т.е. биективное отображение ).

Случай 2. Бесконечные множества

Мощность целого может равняться мощности части. Рассмотрим множества

Можно установить () соответствие: . Следовательно, множества равномощны.

Определение. Говорят, что мощность множества A не превосходит мощности множества B (пишут ), если  множество .

В частности, если AB, то B₁=A.

Теорема. Отношение  на совокупности множеств есть отношение частичного порядка для мощностей множеств.

Рефлексивность .

Транзитивность .

Существуют подмножества B₁B и C₁C и  отображения такие, что f:A B₁, g:BC₁. Тогда g f - соответствие между A и каким-то подмножеством C.

Антисимметричность  (без док-ва).

15.Теорема о счетных множествах. Счетные множества

Определение. Множество, равномощное множеству натуральных чисел  называется счетным.

Примеры.

{0, 1, 2, 3,…}

N = 1, 2, 3, 4, 5 A = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3

Теоремы о счетных множествах

Теорема 1. "¥ множество содержит счетное подмножество.

Док-во.

Выберем элемент a₁ÎA (A не пусто, так как оно бесконечно);

выберем элемент a₂ÎA\{a₁} (A\{a₁} не пусто, так как A бесконечно);

и т.д. В результате получим множество, каждому элементу которого сопоставлено натуральное число n.

Теорема 2. " ¥ подмножество B счетного множества A счетно.

Д-во. Согласно Т1 из ¥ множества B можно выделить счетное C.

Тогда CÍBÍA. В силу определения мощности |C|£|B|£|A|. Так как A и C — счетные, то |A|=|C|. Т. е. |A|£|B|£|A|. Отсюда следует, что |B|=|A|.

Тем самым, счетное множество равномощно своей ¥ части.

16.Теоремы о мощности множеств.

Формулировка теоремы:  А- конечное множество ,тогда мощность множества всех подмножеств этого множества 2^|A|.

Доказательство.

Конечное множество состоит из конечного числа эпементов, пусть их М штук.  Подмножеств, состоящих из 1 эл-та, будет М штук, из 2 эл-тов - число  сочетаний из М по 2, по 3 эл-та - будет число сочетаний из М по 3, и т. д.  Сюда еще включают "несобственные подмножества", а именно, пустое, и  всё множество А.  Всего получится сумма С(М,0)+С(М,1)+С(М,2)+...+С(М,М).  Известно, что такая сумма равна 2^M.  Примечание: Этот факт следует из формулы бинома Ньютона, так  как (1+1)^M=2^M.