10. Классом эквивалентности
элемента 
называется
подмножество элементов, эквивалентных
.
Из вышеприведённого определения
немедленно следует, что, если 
,
то 
.
Множество
всех классов эквивалентности
обозначается 
.
Для
класса эквивалентности элемента
используются
следующие обозначения: 
, 
, 
.
Множество
классов эквивалентности по
отношению 
является разбиением
множества.
11. Отношения порядка
Бинарное
отношение 
на множестве 
называется отношением
порядка,
или отношением
частичного порядка,
если имеют место
Рефлексивность: 
Транзитивность: 
;
Антисимметричность: 
.
Множество , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.
Отношение
,
удовлетворяющее условиям рефлексивности,
транзитивности, антисимметричности
также называют нестрогим,
или рефлексивным
частичным порядком и
обычно обозначают символом 
.
Если условие рефлексивности заменить
на условие антирефлексивности:
,
то
получим определение строгого,
или антирефлексивного
частичного порядка,
обозначаемое обычно символом 
.
В общем случае, если
—
транзитивное, антисимметричное
отношение, то
—
рефлексивный
порядок
—
антирефлексивный
порядок.
Отношение частичного порядка называется линейным порядком, если выполнено условие
Множество , на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.
Отношение , удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется квазипорядком, или предпорядком.
12.Понятие алгебры
раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел[2].
Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма[3].
Алгебраическая
система — упорядоченная
пара множеств 
.
Первое множество (
) —
элементы какой либо природы (числа,
понятия, буквы). Второе множество (
) —
операции над первым множеством (сложение,
умножение, возведение в степень).
Примеры: группа, кольцо, поле.
13. Сравнение множеств. Мощность(конечные множества)
Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.
В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:
Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).
До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.
Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.
Мощность
множества 
обозначается
через 
.
Сам Кантор использовал
обозначение 
.
Иногда встречаются обозначения 
и 
.
Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным.
Два
множества
и 
называются эквивалентными,
если существует биективное
отображение одного
множества в другое. Если
множества X и Y эквивалентны,
то этот факт записывают 
или 
и
говорят, что множества имеют одинаковые
мощности.
Множество
называется конечным,
если оно эквивалентно множеству 
при
некотором неотрицательном целом 
.
При этом число
называется
количеством элементов множества
,
что записывается как 
.[1]
В
частности, пустое
множество является
конечным множеством, количество
элементов которого равно 0, то есть, 
.
Определение. Множества A и B называются равномощными, если между A и B существует взаимно однозначное соответствие (т.е. биективное отображение ). Утверждение. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.
Доказательство.
Рефлексивность можно установить, отображая множество само на себя с помощью функции f(x)=x. То есть |A|=|A|.
Симметричность. Если взаимно однозначное соответствие, то и - также взаимно однозначное соответствие.
Транзитивность . Т. е. |A|=|B|, |B|=|C| и |A|=|C|.
Рассмотрим разные случаи.
Случай 1. A и B конечны.
Утверждение. В случае, когда A и B конечны (содержат конечное число элементов) A и B равномощны тогда и только тогда, когда количество элементов A = количеству элементов B.
Доказательство ||
Если количество элементов одинаково, то перенумеруем их и установим взаимно однозначное соответствие
Следовательно, множества равномощны.
б) Пусть множества A и B равномощны. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между элементами A и B . Следовательно, их количество должно быть одинаковым.
Поэтому для конечных множеств A можно принять, что мощность |A|=количеству элементов A.