5.Отношения и функции
Определение: Пусть F есть некоторое множество функций из PE (множество всех функций определённых на E), тогда:
Всякая функция из E есть суперпозиция над F.
Если функция f(x1,…,xn) принадлежит F и каждая из A1,…,An есть либо суперпозиция над F либо переменная, то f(A1,…,An) есть суперпозиция над F.
Замечание: Суперпозиция над F есть обычная подстановка построенная из функций множества F. Суперпозиция над F допускает переименование переменных.
Определение: Класс M функций из PE функционально замкнут, если вместе с любыми своими функциями класс M содержит и любую их суперпозицию.
Определение: Замыкание [M] множества функций M из PE есть множество всех суперпозиций над M
Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из < X,Y> f и <X,Z> f следует, что Y=Z. (Функция является однозначной).
6.Произведение множеств
Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические...), существующие на перемножаемых множествах.
7.Функции ( сюръективная инъективная биективная)
Определение.Функция f: X→Y называется инъективной, если x1, x2, y:=f(x1), y:=f(x2) x1=x2. ( То есть, одинаковые значения Y могут соответствовать одинаковым значениям X ).
Определение.Функция f:Х→У называется сюръективной, если yY xX:
Y=f(x). ( То есть, каждому значению у соответствует некоторое значение х).
Определение. Функция называется биективной если она одновременно и сюръективна и инъективна.
Примеры
f(x)=ex — инъективна, но не сюръективна при х R;
f(x)=x3-x — сюръективна, но не инъективна.
8.Свойства биективных функций.
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Функция 
является
биективной тогда и только тогда, когда
существует обратная
функция 
такая,
что
и 
Если
функции 
и 
биективны,
то и композиция функций 
биективна,
в этом случае 
.
Коротко: композиция биекций
является биекцией. Обратное,
однако, неверно: если
биективна,
то мы можем утверждать лишь,
что
инъективна,
а
сюръективна.
9. Специальные бинарные отношения
Для
отношений эквивалентности и порядка
(специальных бинарных отношений) область
определения отношений совпадает с
областью их значения. Матрица конечного
специального бинарного отношения
(далее просто отношения) будет квадратной.
Для таких отношений, определённых на
одном множестве, существуют понятия
рефлексивности, симметричности и
транзитивности.
Отношение 
на
множестве X рефлексивно, если 
x
X
пара
.
Для конечного рефлексивного отношения
на главной диагонали его матрицы
отношения находятся одни единицы.
Отношение «быть больше и равно» -
рефлексивно, а отношение «быть меньше»
- антирефлексивно. Для конечного
антирефлексивного отношения на главной
диагонали его матрицы отношения
находятся одни нули. Не рефлексивное
и не антирефлексивное отношение является
арефлексивным. Для конечного арефлексивного
отношения на главной диагонали его
матрицы отношения находятся и единицы
(хотя бы одна) и нули (хотя бы один). Для
понятия рефлексивности конечного
отношения важны только данные на главной
диагонали его матрицы.