13. Понятие об анализе размерностей.

Анализ размерностей это метод установления связи между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин. В основе анализа размерностей лежит требование, согласно которому уравнение, выражающее исходную связь между физическими величинами, должно оставаться справедливым при любом изменении единиц измерения, входящих в него величин. Это требование совпадает с требованием равенства размерностей величин в левой и правой частях уравнения.

Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи неизвестен, для ее нахождения составляют уравнение размерностей. В этом уравнении в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой - произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности. Задача нахождения связи между физическими величинами в этом случае сводится к нахождению значений соответствующих показателей размерности. Если, например, требуется найти высоту h вертикального уступа, сложенного связными породами обладающими прочностью с (φ = 0) и плотностью ρ, и находящегося в поле действия гравитационных сил γ=ρg, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид: L =(ML^-1 Т^-2)^х (ML^-3)^y (LT^-2)^z,

где х, у, z — неизвестны. Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении приводит к системе уравнений: 1= -х-3у+z; 0= х + у; 0=-2х-2z,

решение которой дает х=1, у=z= -1. Отсюда связь высот вертикального уступа с прочностью и плотностью выражается c помощью формулы: h=k(c/pg)=k(c/γ)

где к- безразмерный коэффициент, определяемый из уравнений обобщенного закона Гука и равный 2, но который с помощью анализа размерностей определить нельзя.

Таким образом, устанавливаемая с помощью анализа размерностей зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэффициента. Для получения точных количественных соотношений нужны дополнительные данные, что не позволяет рассматривать анализ размерностей универсальным методом. Однако идеи, развитые в анализе размерностей, находят применение в теории подобия, которая положена в основу исследования многочисленных физических явлений.

14.Критерии подобия при моделировании механических процессов.

Подобие двух физических явлений определяется следующим образом. Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответственным величинам другой системы. Таким образом, физическое подобие достигается в случае, когда поля соответствующих физических параметров двух систем пропорциональны между собой в пространстве и времени.

Коэффициенты пропорциональности для каждой из величин, характеризующих состояние двух подобных систем, называются коэффициентами подобия.

Независимые параметры являются определяющими. Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров, получили название критериев подобия.

Среди критериев подобия различают тривиальные и нетривиальные критерии подобия. К тривиальным критериям подобия относятся, во-первых, отношения двух параметров, характеризующих состояние системы, которые имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, все безразмерные параметры. Все остальные безразмерные комбинации, составленные из параметров, характеризующих состояние системы, представляют собой нетривиальные критерии подобия. Любая комбинация из критериев подобия также является критерием подобия. Среди множества критериев подобия число независимых критериев определяется согласно центральной теореме теории подобия. Независимые критерии подобия образуют базу процесса.

Центральная теорема теории подобия: из п независимых параметров среди которых имеется не более к параметров с независимыми размерностями нельзя составить больше п-к независимых безразмерных степенных комбинаций.

Рассмотрим применение теории подобия для случая моделирования механического процесса. Основными параметрами, характеризующими состояние механической системы, являются параметры, описывающие свойства материала (горные породы): модуль упругости (Е), коэффициент поперечной деформации (μ) и плотность (ρ); параметры, характеризующие внешние воздействия: поверхностные силы (Р) и объемные силы, которые могут быть определены через ускорение свободного падения (g); линейные размеры объекта (L); напряжения, возникающие под воздействием внешних сил в горных породах (σ, τ) и соответствующие им деформации (ε, γ) перемещения и др. Определяющими, или независимыми, napаметрами в этом случае будут только следующие шесть: Е, μ, ρ, Р, g,L, размерности которых в системе СИ запишутся так: [E]=ML^-1Т^-2; [μ]=б/р; [ρ]=ML^-3; [P]=MLT^-2; [g]=LT^-2; [L]=L

Безразмерный параметр уже сам является критерием подобия, но тривиальным. Среди остальных размерных определяющих параметров три (например, поверхностная сила, ускорение свободного падения и линейный размер) имеют независимые размерности. Следовательно, согласно центральной теореме теории подобия: n=5 к=3 и след. п-к=2. Таким образом, при моделировании механических процессов нетривиальных критериев подобия будет два: Р/ЕL², E/pgL. Первый критерий подобия применяется в том случае, когда механический процесс происходит в результате действия только поверхностной силы Р, второй критерий подобия применяется тогда, когда механический процесс обусловлен действием только объемной силы pg.

Первый критерий подобия используется, например, при моделировании механических процессов, происходящих в строительных конструкциях или в деталях машин, когда объемным силами можно пренебречь.

Второй критерий подобия применяется при моделировании механических процессов, протекающих в массиве горных пород и обусловленных главным образом объемными (гравитационными) силами.

Критерии подобия используются, во-первых, для создания модели и, во-вторых, для пересчета результатов, полученных при исследовании модели, на моделируемый объект.

Введение критериев подобия облегчает процесс моделирования, так как происходит сокращение числа независимых переменных, которые необходимо учесть при построении модели адекватной изучаемому объекту, и зависимость между размерными параметрами представляется в безразмерной форме. Таким образом, теория размерностей и подобия позволяет рассматривать закономерности в безразмерной форме с уменьшением числа переменных.