9. Применение конечно-разностных методов для изучения ндс массивов пород.

Методы конечных разностей представляют собой методы приближенного решения диф. ур-ий, основанные на их замене соотношениями относительно дискретного аргумента. Метод конечных разностей состоит в том, что область непрерывного изменения аргументов исходной задачи заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой, и вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки. Эти функции называются сеточными. При этом краевая задача для диф. ур-ия заменяется системой алгебраических уравнений или разностной схемой. Если полученная таким образом разностная краевая задача разрешима и ее решение при безграничном измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи дифференциального уравнения, то полученное на любой фиксированной сетке решение разностной задачи и принимается за ее приближенное решение. Близость решения, к истинному определяется шагом сетки и порядком аппроксимации, используемой для решения разностной схемы.

• С етки, применяемые для дискретизации исследуемых областей с шагами по координатным осям: а— равными, б— неравными, в— неравномерными, г— криволинейными

  • Шаг сеток не должен превышать размеров неоднородностей.

  • П ри сшивке двух разных сеток количество узлов на сшиваемых границах должно быть равным.

  • Если изменение св-в должно быть плавным, то точки ставят на равном расстоянии от границы

+ Можно заранее определить условия сходимости

- необходимо много входных данных.

Чтобы задать расчетные параметры используются статистические подходы; наиболее приемлимым способом задания расчетных параметров - представление массива пород в виде кусочно-однородной среды.

Когда точка находится на расстоянии от внутренней границы большем шага разбиения, свойства среды присваиваются точке в середине четырехугольника, стороны которого равны этому шагу. Если точка находится на границе или вблизи нее (рис.2), то четырехугольник вокруг нее неоднородный иприсваиваемое центральной точке данного участка может быть определено как средневзвешенное: , где R — показатель, характеризующий в среднем св-во участка площадью S; R_i— свойство i-й части участка, S_i – площадь этого участка.

Пример. Задача одномерной консолидации.

P_i,j ставим в углы сетки. Аппроксимируем производные разностными соотн-ми:

;

Подставляем: Делаем замену: ,откуда

Т.О. зная 3 точки на момент t₁ можно рассчитать 1 точку на момент t₂. Для определения остальных точек устанавливают Нач. условия ( P=P_i,0) и граничные условия (P=P_0,j, P_m,j = 0)

С хема: И т.д.

Это явная схема. Происходит накопление ошибок Для их избежания применяют неявную схему.

10. Основы метода конечных элементов и его применение для изучения распределения напряжений в породах.

Метод конечных элементов является методом, основанным использовании вариационного принципа Лагранжа. Идея построения вариационно-разностной схемы состоит в том, чтобы и специальном выборе координатных функций получить систему линейных алгебраических уравнений, совпадающую по структуре с системой разностных уравнений.

Изучаемая область разбивается на конечное число элементов (треугольников, прямоугольников, шестиугольников и пр.)

Н а рисунке разбивка области вокруг тоннеля равносторонними треугольниками с общими вершинами.

Положения:

1. Разбиение может быть достаточно произвольным

2. В процесс деформирования трекгольники, которые сходятся вершинами в узлах перемещаются на одно расстояние и угол

3. В проц. Деф-ии треуг-ки остаются соедин-ми по одной линии

4. Перемещение всех узлов треуг-в являются независимыми,

5. Жесткости треугольников конечны

6. В пределах одного одного треугольника среда однородна, но м.б. другой в остальных

7. Внешние нагрузки прикладываются только к узловым точкам

8. Объемные силы прикладываются к узлам по ρgS/3

Требования к системе:

1. Силы, действующие изнутри треугольника должны быть уравновешены внешними силами

2. При приложении сил элемент должен деформироваться при соблюдении условия неразрывности

3. Должен соблюдаться з-н Гука, при котором внутрении силы и перемещения элементов должны соответствовать жесткости и геометрии системы.

Деформация тела, к которому приложена сложная нагрузка будет такой, на которую уйдет меньше энергии.

П=Σεσ + ΣFu + ΣPu, где П- потенциальная энергия деформирования, Σεσ – энергия деформации во внутренних точках (объемная), ΣFu, ΣPu – соответственно объемные и поверхностные силы, умноженные на перемещения под их действием.

Коль скоро П должна быть минимальна, П' = 0

Получаем САУ: {F} = [K]{U}, где {F} – вектор обобщенных сил, [К] – матрица жесткости, {U} - вектор обобщенных перемещений.

Итого:

• Метод создан и оптимизирован для расчета НДС неоднородных сред

• Позволяет аппроксимировать объекты любой формы

• Наглядный метод

• Невозможна предварительная оценка точности

• Невысокая точность

• Трудоёмкий в подготовке информации