7. Математические способы решения задачи о ндс массива пород

Одной из наиболее важных задач решаемой в инженерной-геологии является оценка НДС массива и его изменение в результате воздействия на него различных внешних факторов. Решение этой задачи осуществляется с помощью математической модели, представляющей систему дифференциальных уравнений. Систему уравнений может быть решена аналитическими и численными методами.

Точное аналитическое решение применимо для описания НДС 1) однородных массивов г.п. (области с одинаковыми свойствами); 2) области с простой геометрией (гладкие границы, без углов); 3) простые граничные условия; 4) решение с помощью частных производных.

Применение численных методов без ЭВМ было сложным и долгим. Численные методы решения дифференциальных уравнений можно объединить в две группы.

1) методы требующие использования во всей исследуемой области:

• методы конечных разностей, или сеточные методы,

• вариационно-разностные методы,

• проекционно-разностные метод (метод конечного элемента).

2) методы требующие использования аппроксимации только на границе исследуемой области:

• различные модификации метода граничных элементов или метод граничных интегральных уравнений.

Аналитические методы – решение точных задач путем интегрирования дифференциальных уравнений.

8. Применение численных методов для изучения ндс массива пород (также смотрите вопросы 10, 11)

К численным методам относятся 1) конечно и вариационно разностные методы; 2) метод конечных элементов; 3) метод граничных элементов.

Метод конечных разностей (сеточный) может использоваться для изучения НДС неоднородных массивов г.п., при решении нестационарных и нелинейных задач. Он представляет собой методы приближенного решения дифференциальных уравнений, основанные на замене этих уравнений соотношениями относительно дискретного аргумента. Для изучения конечной области непрерывный аргумент заменяется конечным числом точек. В каждой точке определяется значение функции. Производные заменяются разностными соотношениями на основе функций определенных в точках. Преимущества: 1) возможность заранее определить условия сходимости. Недостатки: 1) необходимо много вводных данных, получаем много выходных (все не нужны), в каждой точке определяются X,Y,E,μ,ρ.

Вариационно разностный метод. Принцип: если мы прикладываем нагрузку, то это тело будет деформироваться так, чтобы затратить min энергии. Лучший пример – мыльные пузырьки, которые имеют форму шара. Для каждого элемента составляется матрица жесткости элемента. Преимущества: 1) создан и приспособлен для изучения НДС неоднородных сред. 2) позволяет аппроксимировать любые тела с любыми границами в том числе и внутренними; 3) хорошая наглядность; 4) изучает статические, динамические, плоские, объемные и др задачи. Недостатки: 1) невозможно заранее предсказать точность метода; 2) невысокая точность; 3) трудоемкий в подготовке информации, на решение задачи уходит много времени.

Метод конечных элементов (МКЭ) находит применение при исследовании тектонических процессов протекающих в земной коре, при решении задач инженерной геологии и механики грунтов, гидродинамики и т.д. МКЭ удобен в случае изучения неоднородных областей со сложными внутренними и внешними границами, что очень важно при исследовании НДС г.п. Область разбивается на конечное число элементов (треугол, квадраты, шестиугол) и в каждом элементе задаются параметры, характеризующие свойства изучаемой среды.

Метод граничных элементов (ГРЭ) используется для решения задач о распределении напряжений и деформаций в бесконечных и полу бесконечных областях с неровными границами, отверстиями произвольной формы, трещинами и др. Широко применяется в горном деле, строительной механики и др. В методе ГРЭ разбиению на отдельные элементы подвергаются только границы исследуемой области, что его отличает от других методов, где приходится изучать всю область. В конечном итоге нахождение решения осуществляется с помощью системы линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестные параметры во внутренних узловых точках выражаются через известные величины в узлах сетки, расположенных на границе области. Преимущества: 1) уменьшается размерность задачи (от двумерной к одномерной задаче); 2) легко изучать НДС бесконечных или полу бесконечных областей; 3) позволяет рационально решать задачи, если изучаемая область пересечена трещиной, характеризующая прочность породы в трещине; 4) малое количество вводной информации и соответственно выходной.