Вопрос 3. Построение математической модели геомеханических процессов.

Все тела под действием сил гравитации, а значит в НДС. Изучают для оползней, осадки сооружений, проходки горных выработок, откачки п.в. и т.д..

Мат.модель – совокупность нескольких систем уравнений (движения, неразрывности, состояния, начальных и граничных условий).

Все тела под действием внешних сил. Бывают объемные (инерционные, гравитационные, сейсмические, взвешивающая, гидродинамическая) и поверхностные (давление). Теорема Гаусса: действие объемных сил можно заменить поверхностными, если они вызывают эквивалентную реакцию). Внешние силы приводят к возникновению внутренних. Напряжения – мера внутренних сил – отношение силы к площади через которую взаимодействуют две части тела.

Для определения НДС в точке 1) выбираем систему координат, 2) проводим 3 плоскости 3) на каждой плоскости нормальное и 2 касательных. По идее надо знать все напряжения на всех возможных площадках, но достаточно только на 3х, остальные можно вывести. Записывают тензор напряжений (всего 9 шт).

Напряжения приводят к деформациям (также 9 шт). Деформации – перемещения точек в пространстве (U, V, W вдоль x, y, z). Формулы Коши (геометрические): ε_x=∂U/∂x и γ_xу=∂U/∂у+∂V/∂x (всего 6 уравнений).

Уравнения движения. Выводится из положения, что тело находится в равновесии, т.е. в том и только том случае, если сумма проекций всех сил, действующих на это тело на любую ось равна нулю и сумма моментов всех сил относительно этих осей также равна нулю (ΣХ(Y,Z)=0; ΣM_x(y,z)=0). Если тело движется, то вместо 0 инерционный член т.е. ΣХ=m(масса)*∂²U/∂t²(ускорение по ОХ).

Основная идея. Напряжение, действующее на площадку, параллельную изначальной и отдаленную на dx, равно σ_х+(σ_х/∂x)dx, то же для касательных τ_хz+(τ_хz/∂x)dx. Пусть действуют объемные силы X,Y,Z. Тогда если спроецировать все силы (напряжение*площадь) на ОХ получим уравнение: (σ_х+(σ_х/∂x)dx)dydz - σ_хdydz + (τ_хy+(τ_хy/∂y)dy)dxdz - τ_хydxdz + (τ_хz+(τ_хz/∂z)dz)dxdy - τ_хzdxdy + ρXdxdydz = ρdxdydz*∂²U/∂t²

Отсюда: σ_х/∂x+τ_хy/∂y+τ_хz/∂z+ρX=ρ*∂²U/∂t² и таких 3 ур-я движения. В случае стационарного процесса выводится закон парности касательных напряжений, т.е. τ_хy=τ_yх, тогда остается только 6 компонент напряжений. Если задача двумерная и статическая, то уходят все члены с z и инерционный член = 0, и тогда 2 ур-я.

Уравнения неразрывности. Это необходимое условие, чтобы в процессе деформирования не происходило нарушение сплошности. Выводится из геометрических, путем дифференцирования ε_x, ε_у и γ_xу по dxdy. Получается: ∂²γ_xу/∂х∂у=∂²ε_x /∂у²+∂²ε_у/∂x² (для 2-мерного случая).

Уравнения состояния. Они нужны для связи деформаций и напряжений. Сначала был Гук и его закон σ = εЕ, (физ.смысл Е – напряжение, кот. нужно приложить к пружине, чтобы растянуть её в 2 раза.) Коши и Пуассон переписали закон для объёмного пространства и получили обобщенный закон Гука: «в деформацию тела вносит вклад не только напряжение, действующее в том же направлении, но и все остальные».

ε_x=а₁₁σ_х+а₁₂σ_у+а₁₃σ_z+а₁₄τ _хy+а₁₅τ_хz+а₁₆τ_хy (и так же еще 5 ур-й для ε_y, ε_z, γ_xу, γ_xz, γ_zу, будут меняться коэффициенты (упругие постоянные) а_ij как в матрице (всего 36 коэф)). Однако можно уменьшить количество коэффициентов. При изотермических условиях а_ij= а_ji, и остается 21. Для ортотропного тела (3 плоскости симметрии) 9 постоянных (3Е, 3G, 3μ по 3м направлениям). Для трансверсально-изотропного (слоистого) ток 5 (2Е, G_┴, 2μ) (см 4 вопрос). Для изотропного 2 (Е и μ). В последнем случае 6 уравнений, типа: ε_x=(σ_х-μ(σ_y+σ_z)1/Е и γ_xу= τ_хy /G, где G=Е/(2+2μ).

Начальные условия. Они не принимаются в рассмотрение при решении статической задачи. Граничные условия. Ранее все ур-я были для точки внутри тела. Однако есть точки на поверхности. Граничные условия нужны для задания напряжений, уравновешивающих внутренние силы. Бывают статические (в напряжениях), кинематические (в смещениях), динамические (в скоростях, ускорениях), смешанные. Соотношение внешних и внутренних напряжений выглядит следующим образом:

σ_n = (σ_x+σ_y)/2 + cos2α(σ_x-σ_y)/2 + τ_хysin2α

τ_n = (-)sin2α(σ_x-σ_y)/2 + τ_хycos2α («-» есть в книге, и нет в лекциях (есть варианты еще из механики грунтов и я сама решала, во всех 4ех знаки везде разные)). Вывод основан на том, что тело в равновесии, следовательно, сумма проекций всех сил на любую ось равна нулю. Надо перевести напряжения в силы (умножить на площадь). И еще, совет, легче проецировать на оси вдоль σ_n и τ_n. При выводе пригодятся формулы sin²a=(1-cos2a)/2 и cos²a=(1+cos2a)/2.