2. Деякі спеціальні класи простих графів

Розглянемо деякі спеціальні класи простих графів, часто використовувані як приклади й широко застосовувані [15].

Повний граф з п вершинами (позначають як К_п) — це граф, у якому будь-яку пару вершин з'єднано точно одним ребром.

Приклад 3.9. На рис. 3.9 зображено графи К_п для п = 1, 2, 3, 4, 5.

Рис. 3.9 Повні графи

Граф називають порожнім, якщо Е = 0, тобто такий граф не має ребер. Порожній граф з п вершинами можна розбити на дві підмножини У₄ і У₂, що не перетинаються (V_X U V₂=V, V_x U У₂ = 0), так, що кожне ребро з'єднує вершину з V, і вершину з V₂. Дводольний граф називають повним, якщо кожну вершину з У₄ з'єднано ребром із кожною вершиною з V₂. Повний дводольний граф позначають як К_т , де т= \У_Х\, п= |У₂|. Граф К_х називають зіркою.

Граф К_т×п має п + т вершин та п×т ребер.

Приклад 3.10. На рис. 3.10 наведено повні дводольні графи K_i5, K₃₂ та К₃₃.

Рис. 3.10 Дводольні графи

Циклом С_п, п > 3, називають граф із множиною вершин і множиною ребер Е={{o_t, v₂}, {v₂, v^}, ..., {v_n^, v_n), {v_n, v_x}}.

Приклад 3.11. На рис. 3.11 зображено цикли C₃, C₄, C₅ i C₆.

Рис. 3.11 Цикли

Колесом W_n називається граф, який можна одержати з циклу С_п додаванням іще однієї вершини, з'єднаної з усіма и вершинами в С_п новими ребрами.

Приклад 3.12. На рис. 3.12 зображено колеса W₃, W₄, W₅, W₆.

Рис. 3.12. Колеса

Простий граф, вершини якого зображають yсі 2 бітові рядки довжиною п, називають п - вимірним кубом і позначають Q_п. Дві вершини в Q_п з'єднано ребром тоді и лише тоді, коли бітові рядки, які їx подають, відрізняються точно в одному біті.

Граф Q_n+1 можна отримати з двох графsв Q з'єднавши ребрами їxнi однаково позначені вершини. Після цього до бітових рядків у вершинах одного з графів Q_n зліва дописують 0, другого — 1.

Приклад 3.13. На рис. 3.13 зображено графи Q₁ ,Q₂ та Qз

Рис. 3.13 N-вимірні куби

3. Способи подання графів

Найзрозуміліший і корисний для людини cпоcі6 подання (зображення) графів — це рисунок на площині у вигляді точок і ліній, які з'єднують ці точки. Проте цей cпoсі6 подання абсолютно непридатний, якщо потрібно розв'язувати на комп'ютері задачі з графами.

Розглянемо декілька інших способів подання графів для двох найважливіших графів: простого й орієнтованого (рис. 3.15).

Рис. 3.15 Простий та орієнтований граф

Матрицю, кожний елемент якої дорівнює 0 чи 1, називають булевою.

3.3.1. Матриця інцидентності

Нехай G=(V,E) — простий граф із множиною вершин V={v₁ , v₂, ..., v_n} і множиною ребер Е - {е₁, е₂, ..., е_т).

Матрицею інцидентності графа G, яка відповідає заданій нумерації вершин і ребер, називають булеву п×т матрицю М з елементами m_ij (і= 1,..., п; j = 1,..., m), де m_ij = 1, якщо вершина v_i та ребро e_i, інцидентні, m_ij = 0 у протилежному випадку.

Приклад 3.14. Для неорієнтованого графа, зображеного на рис. 3.14, матриця інцидентності має вигляд

Отже, для простого графа в матриці інцидентності в кожному стовпці точно дві одиниці, і немає однакових стовпців. Матрицю інцидентності можна використовувати й для подання мультиграфа. Тоді з'являться однакові стовпці (вони відповідають кратним ребрам). Для подання псевдографа, якщо в ньому є петлі, у відповідних позиціях матриці ставимо 2 (у цьому разі матриця інцидентності не булева).

За допомогою матриці інцидентності можна подавати й орієнтовані графи. Для таких графів вона також не булева. Нехай G = (V, E) — орієнтований граф із множиною вершин V={v₁,v₂, ...,v_n} і множиною дуг Е= {е₁ е₂, ..., е_т). Матрицею інцидентності орієнтованого графа G, яка відповідає заданій нумерації вершин і дуг, називають п×т матрицю М з елементами m_ij (і= 1,..., п; j = 1,..., m), де

Приклад 3.15. Для орієнтованого графа, зображеного на рис. 3.15, матриця інцидентності має вигляд

З алгоритмічного погляду матриця інцидентності — це, мабуть, найгірший спосіб подання графа, який тільки можна собі уявити [23]. По-перше, для цього потрібно п×т комірок пам'яті, більшість із яких зайняті нулями. По-друге, доступ до інформації незручний. Щоб отримати відповідь на елементарні питання (наприклад, чи існує дуга (v_i, v_j), до яких вершин ведуть дуги з v_i), у найгіршому випадку потрібно перебрати всі стовпці матриці, тобто виконати т кроків.