28. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна .

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

.

Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.

29. Моменты случайной величины. Асимметрия. Эксцесс.

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

.

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

.

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

, .

Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

,

,

.

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределения Х относительно М(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

.

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

30. Неравенство Маркова.

Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. . Тогда для любого

,

где М(Х) — математическое ожидание Х.

Следствие: Так как события и противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде

.

31. Неравенство Чебышева.

Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого

.

Следствие: Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого

.

32. Теорема Чебышева.

Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная .При доказательстве предельного равенства используется неравенство: ,которое вытекает из неравенства Чебышева.

33. Теорема Бернулли. Значение закона больших чисел.

Если в каждом из n независимых испытаний событие А появляется с одной и той же вероятностью р (р+q=1), т.е. не появляется с вероятностью q, то вероятность того, что отклонение частоты от постоянной вероятности р по модулю не превзойдет от положительного числа больше, чем разность , т.е. и .

теорема Бернулли позволяет утверждать обоснованность статистического определения вероятности. Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.