18. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики.

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, с вероятностями (формула Бернулли), где , , .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

, .

19. Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m, …(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

,

где .

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма вероятностей

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х , имеющей геометрическое распределение с параметром р вычисляются по формулам:

где

20. Гипергеометрическое распределение.

Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения n элементов. Х — дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, среди отобранных n элементов. Вероятность, что Х = m определяется по формуле

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

,

.

21. Формула Пуассона. Распределение Пуассона.

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы Бернулли пользуются приближенной формулой Пуассона

,

где число появлений события в n независимых испытаниях; m принимает значения . (среднее число появлений события в n испытаниях).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , который определяет этот закон, т.е.

.

22. Непрерывная случайная величина, плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

НСВ – такая величина Х, которая принимает все значения из некоторого промежутка.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Функция распределения вероятностей F(x) используется для описания как дискретной СВ, так и НСВ. Однако для НСВ во многих случаях удобно использовать другую функцию, которая называется плотностью вероятности (обозначается р(х), в некоторых источниках f(x).

Плотностью вероятностей НСВ Х называется функция р(х), которая равна первой производной от ее функции распределения:

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1. D(y): вся числовая прямая, х€R. E(y):

2. .

3.

4. .

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.