Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
Функцией распределения
СВ Х называется функция действительной
переменной х, которая определяется по
формуле
,
где выражение
означает: вероятность события, что
случайная величина Х примет значение,
чем х заданное.
F(x) обладает свойствами:
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
.
Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероятность.
2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т.е.
;
.
4. Вероятность
попадания случайной величины в интервал
(включая
)
равна приращению ее функции распределения
на этом интервале, т.е.
.
5. для НСВ Х вероятность Р (Х=а)=0 (принимает конкретное значение)
Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины
Пусть случайная величина Х может
принимать только значения
,
вероятности которых соответственно
равны
.
Тогда математическое ожидание М(Х)
случайной величины Х определяется
равенством
.
Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Математическое ожидание приближенно
равно среднему арифметическому значений
случайной величины:
.
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
.
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий
.
Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю
Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Дисперсия случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
Дисперсией
случайной величины Х
называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения от ее математического
ожидания:
.
Дисперсия — это мера рассеяния случайной величины около ее математического ожидания.
Если Х — дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:
,
где а = М(Х);
.
Свойства дисперсии случайной величины
Дисперсия постоянной величины С равна нулю
.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
.
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин
.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
.
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим
отклонением
случайной величины Х
называется арифметическое значение
корня квадратного из ее дисперсии
.
Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной величины.