9. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Набор событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие

Формула полной вероятности. Пусть события образуют полную группу событий ( ) и событие А может произойти с одним и только с одним из этих событий. Тогда вероятность события А равна

.

Формула Байеса. Если событие А произошло, то условные вероятности (апостериорные) гипотез вычисляются по формуле Байеса

,

где Р(А) — вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

10. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» в каждом испытании (схема испытаний Бернулли).

Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли

.

11. Наивероятнейшее число появлений события в схеме Бернулли.

Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами и : . Если — целое число, то наивероятнейших чисел два и .

12. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Теорема (Муавра-Лапласа (локальная)). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции

, где , .

(Муавра-Лапласа (интегральная)). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между и , приближенно равна (чем больше n, тем точнее) ,где р — вероятность появления успеха в каждом испытании, , .

13. Формула Пуассона для редких событий.

Предположим, что произведение является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим Тогда для любого фиксированного и любого постоянного :

.

В случае, когда n велико, а р мало (обычно ; ) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

, где

14. Дискретная случайная величина, ее закон распределения. Многоугольник распределения.

Случайная величина – переменная величина, которая может принимать значения, зависящие от случая. Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значения — х, у, z.

Случайные величины делятся на 2 группы: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина (ДСВ) Х – переменная величина, которая принимает конкретные значения х1, х2, х3.

Закон распределения СВ Х – соответствие между ее значением и вероятностями, с которыми эта величина примет соответствующее значение.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х			…
Р			…

, .

События образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

.

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.