5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А + В) = Р(А) +Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

.

6. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В. (Условную вероятность будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля).

Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло обозначается символами или .

Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с , называется число , которое определяется формулой

.

Свойства условных вероятностей

1) ; 2) ; 3) ; 4) если , то ; 5) .

Событие А называется независимым от события В с , если , т.е. вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые 2 из них независимы. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий есть событие независимое.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

.

В частности для независимых событий , т.е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили

.

В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

.

Вычисление вероятности появления хотя бы одного из совместных событий можно вычислять как разность между единицей и вероятностью произведения противоположных событий :

.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

.

7. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Вероятность P(А + В) суммы событий А и В равна Р (А + В ) = P(А) + P(В) – P(АВ).

Доказательство. Пусть n- число всех элементарных исходов, k-число исходов, благоприятствующих событию А, l- число исходов, благоприятствующих событию В, m-число исходов, благоприятствующих и А и В, тогда событию А+В будут благоприятствовать k+l-m. Согласно классическому определению вероятности Р(АВ)= = + - = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

8. Вероятность появления хотя бы одного из нескольких независимых событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q1q2 ... qn.(*)

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A) = l — qn. (**)