Символ о-большое.

Def.2 Говорят, что функцияf(x), определенная на Е естьОот функцииg(x).

Если С(0, +) и Ů(a) (а-предельная для Е-области определения

функции) : |f(x)/g(x)|=C  xŮ(a)-этот факт обозначают символом f(x)=O(g(x)) (xa);|f(x)c*|g(x)|  x Ů(a); g(x)1; |f(x)|c-этот факт означает ограниченность на множеесвеŮ(a); Еслиg(x)1, то f(x)=O(1) (xa)

Th.4 O(g(x))=g(x)O(1)

 f(x):= O(g(x)) (xa) |f(x)/g(x)|=C xŮ(a); (x):=f(x)/g(x)=O(1) (xa)f(x)=g(x)*O(1)

O(g(x))=g(x)*O(1) (xa) O(g(x))=g(x)*O(1) (xa) 

Th.5 Справедливы следующие равенства:

1) O(g(x))+ō(g(x)) =O(g(x)) (xa)

2) O(g(x))+O(g(x) =O(g(x)) (xa)

3) ō(O(g(x))) = ō(g(x)) (xa)

Пример: O(x^+)=ō(x^) (x0) >0, >0

 f(x)=O(x^+) (x0) 0=|f(x)/g(x)|=C x Ů(0) 0=|f(x)/g(x)|=|x^|*C xŮ(0)

0

lim_xa |f(x)/x^|=0  lim_xa f(x)/x^=0  f(x)=ō(x^) (x0) O(xⁿ⁺¹)= ō(xⁿ) (x0) 

Формула, в одну часть которой входит символОили ō, называетсяассимтотическойформулой.

Таблица эквивалентностей и ассимтотических формул.

1) siny~y (y0)  siny=y+ō(y) (y0)

2) tgy~y (y0)  tgy=y+ō(y) (y0)

3) 1-cosy~y²/2 (y0)  cosy=1- y²/2+ō(y²) (y0)

4) tgy-siny~y³/2 (y0)  tgy=siny+y³/2+ō(y³) (y0)

5) ln(1+y)~y (y0)  ln(1+y)=y+ō(y) (y0)

6) a^y-1~y*lna (y0)  a^y=1+y*lna+ō(y) (y0)

7) (1+y)^-1=*y (y0)  (1+y) ^=1+*y+ō(y) (y0)

Асимптотические формулы для e^x, cosx, sinx, ln(1+x), (1+y) ^

1) e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+…+xⁿ/n! +O(xⁿ⁺¹)  nN

2) sinx=1-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…+(-1)^k+1*x^2k+1/(2k+1)! +O(x^2k+2) (x0)  k=0, 1, 2, …

3) sinx=1-x²/2!+x⁶/6!-x⁸/8!+…+(-1) ^k*x^2k/(2k)! +O(x^2k+2) (x0)  k=0, 1, 2, …

4) ln(1+x)= 1-x/1+x²/2+x³/3-…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n! +O(xⁿ⁺¹)  nN

5) (1+y)^= 1+*x/1!+*(-1)*x²/2!+…+*(-1)*(-2)*…*(-n+1)*xⁿ/n! +O(xⁿ⁺¹) (x0)  nN

O(x^m+1)=ō(x^m) (x0)

Def.1 Пусть задана функцияf:ER и точка аЕ, а–предельная точка дляЕ

Функция f называется непрерывной в точке а, если lim_Eэхаf(х)=f(а)

f непрерывна в точке а   U(f(а))U(a;E): f(U(a;E))U(f(a))

lim_Eэхах=а lim_Eэхаf(х)=f(lim_Eэхах)

Пример f(x)=ln(x) E=(0;)^f R=(-;+)

U(ln(a))=(c;d) a(e^c;e^d)=U(a;E) e^c<x<e^d  c<ln(x)<d f(U(a;E))(c;d)=U(ln(a))

 (x)=ln(x) – непрерывна в точке а.

Th.1 (о непрерывности сложной функции)

g:EIR f: IR

Пусть g(x)непрерывна в точке а, предельной точке Е.f(y) непрерывна в в точке b=g(а)I, b предельная для множестваI. Тогда f(g(x))– непрерывна в точке а.

lim_Eэхаg(x)=g(a) g(x)g(a)=b, когда ха lim_Iэybf(x)=f(b)=f(g(a)) y=g(x) ybg(x) b(xa) f(g(a))= lim_Iэybf(x)= lim_Eэхаf(g(x))

Def.2 f:ЕR называется непрерывной на множестве АЕ, если эта функция непрерывна в

каждой точке множества А.

Множество вех функций, непрерывных на множестве А обозначается С(А).

fC(A)-функцяf непрерывна на множестве А

Def.3Если в точке а функцияfне является непрерывной, то говорят, что точка а является

точкой разрыва, и функцияf- разрывна в точке а.