- •Лекции по математическому анализу I-го семестра для факультетов к, б.
- •Множества.
- •Операции над множествами.
- •Способы задания множества.
- •Отображение множества функции.
- •Классификация функций.
- •Cравнение множеств.
- •Аксиоматика вещественных чисел.
- •Свойства точных граней.
- •Лемма о стягивающихся отрезках (Коши-Кантор).
- •Лемма о предельной точке множества.
- •Теория пределов.
- •Геометрическая иллюстрация понятия пределов.
- •Переход к пределу неравенства.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Cуществование предела числовой последовательности.
- •Критерий Коши.
- •Существование предела монотонной последовательности.
- •Неравенство Бернулли.
- •Число е.
- •Подпоследовательность и частичный предел последовательности.
- •Свойства верхнего и нижнего предела.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Односторонние пределы функции в точке.
- •Сравнение функций в точке.
- •Свойства эквивалентности функций.
- •Свойства символа ō.
- •Символ о-большое.
- •Локальные свойства непрерывности функций.
- •Классификация точек разрыва функции.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке. Глобальные свойства нерерывных функций.
- •F(0,1] Эта функция не является ограниченной и не достигает явно наибольшего значения на интервале (0,1] Свойства монотонных функций. Def.2 f:er называется .
- •Равномерная непрерывность.
- •Дифференциальное исчисление. Приращение функции.
- •Дифференцируемые функции.
- •Касатальная к графику функции. Геометрический смысл производной.
- •Дифференцирование арифметических операций.
- •Дифференцирование сложных функций.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование параметрически заданных функций.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Инвариантность формы 1-го порядка.
- •Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Дифференцируемые функции.
Def.1 Пусть заданаf: ERи хЕ, х- предельная точка для Е .f – называетсядифференцируемой в точка хЕ, если ееf можно представить в виде f := f(x +h) – f(x) = A(x)*h + (x, h) (1), где А (х) – функция от х не зависит отh, (x) = ō(h)
(h0, x + h E)
lim h0, x + h E (x, h)/h =0
Если A(x) 0, то первое слагаемое в правой части (1) является главным слагаемым по отношению ко второму, т.к. второе слагаемое мало по отношению к первому.
Def.2 Пусть f: ER иx E, х – предельная точка для Е.Дифференциаломфункции называется величина А(х)*h при условии, чтоf – дифференцируемая функция в точке х
Символ : d’f = A(x)*h (2) (функция отh линейна)
Рассмотрим конкретную функциюf (x) x
f =: x = x + h – x = h
x = 1 * h + (x, h), где (x, h) = 0
Значит эта функция дифференцируема в любой точке х иdx = h
Дифференциал функцииf(x) = x называютдифференциалом аргументаи обозначают
Символом dx иdx = h, подставляя вместоh dx получаемdf = A(x)*dx (3)
Def.3 Пустьf : ER, x E, x – предельная точка для Е, если
lim h0, x + h E (f(x + h) – f(x))/h = lim h0, x + h E f/h , то онназываетя производной
функции f в точке х и обозначаетсяf’(x) f’(x) = lim h0, x + h E (f(x + h) – f(x))/h
Th.2(Критерий дифференцируемости функции в точке)
f: ER – дифференцируема в точке хЕ, х – предельная точка для Еf’(x), причемA(x) = f’(x)
1) Пустьf – дифференцируема в точке хЕf = A(x)*h + (x, h) где(x, h) = ō (h)
f = A(x)*h + ō (h) (h0, x + h E)
h 0 f/h = A(x) + ō(h)/h = A(x) + ō(1) (h0, x + h E)
f’(x) = lim h0, x + h E (f/h) = lim h0, x + h E (A(x) + ō(1)) = A(x) f’(x) = A(x)
2) f’(x) = lim h0, x + h E (f/h) f/h =f’(x) + (x, h)
(x, y) = ō (1) (h0, x + h E)
f = f’(x)*h + h*(x, h) A(x) = f’(x) h*(x, h) = (x, h)
Эта теорема показывает, что дифференцируемость функции в точке совпадает с понятием производной функции.
Если функция дифференцируема в точке х Е, тоf = ō(1) (h0, x + h E)
функция непрерывна в точке х Е. из дифференцируемости всегда следует непрерывность, но наоборот неверно.
Касатальная к графику функции. Геометрический смысл производной.
Постановка задачи: f: ER, x0 E, x – предельная точка для Е
Будем искать линейную функцию вида: y(x) = a0 + a1 (x - x0) (5)
f(x) = y(x) + ō(x-x0) (xx0, x E) (4)
f – дифференцируема в точкеx0, f – непрерывна в точке x0f(x0) = limxxo, xE f(x)
f(x) = a0 + a1 (x - x0) + ō(x-x0) (xx0, x E)
f(x0) = lim x xo, x E (a0 + a1 (x - x0) + ō(x-x0)) (xx0, x E) f(x0) = f(a0)
f(x) - f(x0) = a1 (x - x0) + ō(x - x0) (xx0, x E)
(f(x) - f(x0))/(x - x0) = a1 + ō(1) (xx0, x E) x - x0= h x = x0 + h
(f(x0 + h)-f(x0))/h = a1 + ō(1) (xx0, x + h E)
f’(x0) = lim x xo, x + h E(f(x0 + h)-f(x0))/h = a1
Это единственная линейная функция удовлетворяющая (4). Функция (5) есть разность
f(x) – y(x) = ō(x - x0) (xx0) т.е. функция (5) пртближает (аппроксимирует) функциюf(x) и тем лучше, чем меньше х отличается отx0.
Def.4 Касательнойк графику функции, дифференцируемой в точкеx0, f(x) называется прямая,
С уравнением y = f(x0) + f’(x0)(x - x0), проходящая через точку(x0, f(x0)).
k = f’(x0), k = tg, - угол наклона касательной к положительному направлению Ох.
f’(x0) = tg
Покажем геометрический смысл дифференциала функции
df = A(x)dx A(x) = f’(x) df = f’(x)dx f’(x) = df/dy
f: ER – дифференцируема в точкеx0 Е, x0 – предельная точка для Е.
tg = AB/BM0 AB = tg*BM0= f’(x0)dx = df