Сравнение функций в точке.

Def.1 Пусть заданы две функции f:ER и g:ER эти функции называютсяэквивалентными в точке а, предельной для Е, еслиlim _Eэxa(f(x)/g(x))=1. Этот факт символически обозначаетсяf(x)~g(x) (E  xa)

Свойства эквивалентности функций.

1) f~g (E  xa)  g~f (E  xa)

2) f~g (E  xa) иg~ (E  xa)  f~ (E  xa)

3) еслиf~g (E  xa)  f^~g^ (E  xa) ,    R

4) f~g (E  xa) и~ (E  xa)  f*~g* (E  xa)

 3) lim _{E  xa} f(x)/g(x)=1; lim _{E  xa} [f(x)]^/ [g(x)]^= lim _{E  xa} (f(x) / g(x))^= 1^ =1 

f ^~g^ (E  xa)

Тh.2 f~ f₁ (E  xa) и ~₁ (E  xa)

1) lim _{E  xa} [f(x)]* [₁(x)] = lim _{E  xa} [f₁(x)] * [(x)]

2) lim _{E  xa} [f(x)]* [(x)] = lim _{E  xa} [f₁(x)] * [₁(x)]

3) lim _{E  xa} [f(x)]* [(x)] = lim _{E  xa} [f₁(x)] / [₁(x)]

 1) lim _{E  xa} f(x)*(x) =lim_{E  xa} [(f(x)/ f₁(x))* f₁(x)* (x)] = lim _{E  xa} [ f₁(x)* (x)] 

Def.1 Функция (х)=0, называется бесконечно малой в точке а, предельной для Е, если

lim _{E  xa} (x)=0

Тh.3lim_{E  xa} f(x)=А  f(x)=A+(x), где(х)- функция,бесконечно малая в точке а.

Def,2 Функция : ER ,называется бесконечно большой в точке а, предельной для Е, если

lim _{E  xa} (x)=0;  Ů(A): (x)=1/(x), где(х)-функция,бесконечно малая в точке а.

O-символика.

Def.1 Говорят, что функцияf(x), определенная на множестве Е, мала по сравнению с g(x), определенной на множестве Е, если lim _{E  xa} f(x)/g(x)=0, где а-предельная точка для Е.

При этом используют символf(x)=ō(g(x)) (xa).

Примеры:

1) x² = ō(x) (x0) lim_x0 x²/x= lim_x0 x=0  x²= ō(x) (x0) 

2) x²  ō(x) (xa, a0)  lim_x0 x²/x= lim_x0 x=0  x²=ō(x) (xa) 

Эти примеры показывают, чтоуказание на точку, в которой одна функция есть ō-малое

от другой функции совершеннонеобходимо.

Пример: x=ō(x²) (x)  lim_x x/x² = lim_x 1/x=0  x= ō(x²) (x) 

Th.1 ō(g(x))=g(x)*ō(1) (xa) (ō(1)=(х)- функция,бесконечно малая в точке а).

f(x) := ō(g(x)) (xa)  (поDef.1) lim_xa f(x)/g(x)=0

f(x)/g(x)=: (х)- функция,бесконечно малаяв точке а. (х)=o(1) (xa)

f(x)/g(x)=o(1) (xa)  o(g(x))=g(x)*o(1) (xa) 

Th.2 (Связь символов~иō) f(x)~g(x) (xa)  f(x)=g(x)+ō(g(x))=(1+ō(1))*g(x) (xa)

 f(x)~g(x) (xa) lim_xa f(x)/g(x)=1  f(x)/g(x)=1+(x), где(х)- функция,бесконечно малая

в точке а; (x)=ō(1) (xa)  f()x/g(x)=1+ō(1) (xa)  f(x)=g(x)+ō(g(x)) (xa) 

Пример.1lim_x0 (a^x -1)/x=lna  a^x -1~x*lna (x0) a^x -1=x*lna+ō(lna*x) (x0)

a^x=1+x*lna+ō(x) (x0)

Свойства символа ō.

Th.3 Справедливы следующие равенства (ассимтотические):

1) ō(C*g(x)) =ō(g(x)) ,  C 0 (xa)

2) ō(g(x))+ ō(g(x)) =ō(g(x)) , (xa) (здесьō(g(x))-разные функции)

3)ō(1)*ō(1) =ō(1) (xa)

1)  f(x)=o(C*g(x)) (xa)  lim_xa f(x)/(C*g(x))=0  lim_xa f(x)/g(x)=0

 f(x)=o(g(x)) (xa)  o(c*g(x))=o(g(x)) (xa) Эта цепочка верна и в обратную сторону.

2)  f(x):= ō(g(x)) (xa) (x):= ō(g(x)) (xa)lim_xa (f(x)+(x))/g(x)= lim_xa f(x)/g(x)+

+lim_xa (x)/g(x)=0+0=0  f(x)+(x) = ō(g(x)) (xa)  ō(g(x))+ō(g(x))= ō(g(x)) (xa) 

3) Вытекает из определениябесконечно малой.