Предельный переход в неравенствах.

Тh.1 Пустьf: ER и : ER а- предельная точка для Е, если на некотором подмножестве Е₁Е а-предельная точка для Е₁, если f(x)  (x) xЕ₁ , то выполняется lim _{E э ха}f(x) lim _{E э ха}(x)

Доказательство следует из теоремы Гейне.

Тh.2 Пусть f: ER , u: ER , g: ER , Е₁Е а-предельная для Е₁ и пусть выполняется неравенство

f(x)g(x) u(x)  x  Е₁ , еслиlim_{E э ха}f(x)=lim_{E э ха}(x)=A, то lim_{E э ха}g(x)=A.

Доказательсво следует из теоремы о сжатой переменной и теоремы Гейне.

Односторонние пределы функции в точке.

Def.1 Число Аf: ER называетсяпределом справаилиправым пределом в точке а, предельной для Е, если  U (A)  U⁺ (a, E): f(U⁺ (a, E))  U(A) = lim _{E э ха+0}f(x) или А=f(a+0).

Def2. Число Аf: ER называетсяпределом слеваилилевым пределом в точке а, предельной для Е, если  U (A)  U^- (a, E): f(U^- (a, E))  U(A) A= lim _{E э ха-0}f(x) или А=f(a-0).

Th. Для функции f: ER существуют правый и левый пределы, т.е. ( f(a+0) и  f(a-0)), когда

 lim _{E э ха}(f(x))=A  f(a+0)=f(a-0)=A. Доказательство сразу следует из определения.

Def. Пусть заданаf: ER ( E  R) и АЕ.Колебанием функции на множестве А

называется число(f;А):= sup_{x1, x2  А} |F(x₁)-F(x₂)|.

Примеры:

1) f: R  R f(x)=c=const  x  R (f;А)=0  a  R.

2) f: R  R f(x)=x² (f;[-1, 2])=4.

3) f: R\{0}R f(x)=sin(1\x); (f;(-, +)=2,  >0.

Тh.1. (Критерий Коши) Пусть задана функция f: ER a-предельная точка для Е, тогда

 lim _{E э ха}f(x)>0 Ů(a):(f;Ů(a))< (без доказательства).

Пример: Доказать, что не lim _х0 sin(1\x)

  >0 (sin(1\x);(-, +)=2<   >0, <2 

Lem.1   (0;/2)  sin<<tg

 S_OAB=1/2*R²*sin ; S_OCB=1/2*R²*tg ; S_{сект. OAB}=1/2*R²* ;

S_{сект. OAB} /= (*R²)(2*) S_OAB< S_{сект. OAB} S_OCB

1/2*R²*sin<1/2*R²*<1/2*R²*tg

sin<<tg 

Lem.2

 lim _х0 cosx=1

|cosx-1|=1-cosx=2sin²(x/2) 0<|x/2|</2

Применив Lem.1 получим:

|sin(x/2)|*|sin(x/2)| 2*|sin(x/2)|=2sin|x/2|>2*|x|/2=|x|

0<=|x/2|</2  >0  =>0 0<|x|<=  |cosx-1|<|x|<= 

(по определению Коши)  lim _х0cosx=1 

Тh.1 (1-ый замечательный предел)

lim _х0 (sinx/x) = 1

f(x) = sinx/x– четная функция;  нам достаточно рассмотреть эту функцию при положительных х; 0<|x/2|</2; sinx<x<tgx; 1x/sinx1/cosx  cosx  sinx/x1; lim_х0(cosx)=1

 lim _х0 (sinx/x)=1

2-ой замечательный предел.

[x] = max(m: mx)=n mZ 0{x}:= x-[x]<1 x =[x]+{x}

Тh.1 (2-ой замечательный предел)

 lim _х (1+1/x)^x =e

1. Докажем,что lim _х+ (1+1/x)^x=e

e(1+1/([x]+1))^[x] (1+1/x)^x=(1+1/([x]+{x}))^[x]+{x}(1+1/[x])^[x]+1 e

lim _[x]+ (1+1/([x]+1))^[x] = lim _[x]+ [(1+1/([x]+1))^[x]+1 * (1+1/([x]+1))^-1 ]=e

 lim _х (1+1/x)^x =e 1

2. Докажем,что lim _х- (1+1/x)^x=e

e= lim _n+ (1+1/n) ⁿ = lim _t+ (1+1/(t-1)) ^t-1 = lim _t+ (1+1/(t-1)) ^t =

[u=t-1; u+  t + ; t=-x  x= - t; t + ; x - ]

=lim _t+ (t/(t-1)) ^t = lim _t+ (1-1/t) ^-t = lim _x+ (1+1/x)^x

правый и левый пределы в точке х=­ совпадают  lim _х (1+1/x)^x=e 

Следствия:

1. lim _t0 (1+t)^1/t=e, (из 2-го замечательного предела t=1/x)

2. lim _t0 (ln(1+t)/t)^1/t=1

 lim _х (1+1/x)^x =e

1=lne=ln [lim _х (1+1/x)^x]= lim _х [ln(1+1/x)^x]=

= lim _х x*ln(1+1/x)= lim _t0 (ln(1+t)/)t^1/t , t =1/x 

3. lim _t0 ((a^t-1)/t)=lna

 y= a^t- 1 , a^t=y+1 t*lna=ln (1+y) t=(ln(1+y)/lna)

t0  y0 lim _t0 ((a^t-1)/t)= lim _y0 ((y*lna)/ln(1+y))= lna

(т.к. y/ln(1+y)1) 

4. lim _t0 ((1+t)^-1)/t)=  lim _t0 ((1+t)^-1)/(t*))=1

 y= (1+t)^-1 (1+t)^=1+y ln(1+t)=ln(1+y)

(1+t)^-1)/t=y/t=y/t**ln(1+t)/ln(1+y)=*ln(1+t)/t * 1/(ln(1+y)/y) (t0) 

 1 1