Подпоследовательность и частичный предел последовательности.

Def. 1 Пусть задана последовательность(а)_n=1^и задана некоторая возрастающая последовательность натуральных чиселn₁<n₂<...< n_n<... тогда последовательность

(а_n1,а_n2,..., а_nk,...)=(а)_n=1^ называетсяподпоследовательностью (а)_n=1^

Пример.а_n=n (n)_n=1^=(1,2,3,...,n,...)(2,4,6,....2k,...)= (2k)_k=1^

Th.1 (Больцано-Вейерштрасса).Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

{xR: nN: x=a_n} - множество всех значений(а)_n=1^

1) E - конечное множество.xE (хоть одно)и  (n)_k=1^ ( n_kN; n_k - возрастает)

x=a_n1= a_n2= a_n3=...=a_nk=... lim_ka_nk=x

2) E- бесконечное и ограниченное множество. По лемме Больцано - Вейерштрасса (о предельной точке бесконечном ограниченном множестве). Мы можем утверждать, что существует точкаp - предельная точка множестваЕ(хоть одна).

p-1/k<x< p+1/k kN; a_nk -точка множества Е, которая принадлежит окрестности

(p-1/k;p+1/k) p-1/k<a_nk< p+1/k kN p-1/ka_nkp+1/k kN lim_k∞(p-1/k)= =im_k(p+1/k)= p  lim_ka_nk=p 

Если последовательность ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а если последовательность не ограничена, то из нее можно выделить или сходящуюся подпоследовательность или бесконечно большую подпоследовательность. Это расширенная формулировка теоремы Больцано - Вейерштрасса.

Def.2Число или символ±называетсячастичным пределом последовательности (а)_n=1^, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность сходящеюся к этому числу или символу.

Пример а_n=(-1)ⁿ n=1,2,3,4,5,... {1,-1, 1,-1, 1,-1,...,1,-1, 1,-1,...}

n_k=2k+1; k,nN (а_nk)_k=1^=(-1,-1,-1,...-1,-1-,...)  -1 частичный предел

((-1)ⁿ)_n=1^ приn_k=2kn_k=2k  1 частичный предел.

Def.3 (а)_n=1^ Наибольший из частичных пределов этой последовательности называетсяверхним пределом последовательности, а наименьший из частичных пределов называетсянижним пределом последовательности.

Верхний и нижний предел обозначают соответствующими символами: lim_nа_n

(илиlim_n∞infа_n); lim_nа_n (илиlim_nsupа_n)

Свойства верхнего и нижнего предела.

1)⁰  lim_nа_n=alim_n∞а_n=lim_nа_n=a

 Пусть  lim_nа_n=a, тогда оп определению предела мы видим, что любая другая подпоследовательность стремиться к тому же числу авсе частичные пределы совпадают с точкойаиlimиlimравны.

Пусть lim_nа_n =lim_nа_n =aвсе частичные пределы совпадают с точкойа каждая подпоследовательность имеет предел а, но каждая из этих последовательностей является подпоследовательностью данной последовательностиlim_nа_n=a.

2) ⁰ lim_nа_n=aТогда верны два утверждения

a)>0 N=N(): a_n<a+, n>N()

b)  (n_k)_k=1^ - возрастающая подпоследовательность натуральных чисел: a-<a_nk ,kN Условиями 1) и 2) верхний предел определен однозначно. Из 1) следует, что данный предел является наибольшим из частных пределов , а из 2) следует, что существует подпоследовательность, сходящаяся ка.

3) ⁰ (а)_n=1^ lim_nа_n =b,тогда одновременно выполняются 2 неравенства

a) >0 N=N(): b-=а_n , n>N()

b)  (n_k)_k=1^: a_nk <b+ kN

4) ⁰ lim_nа_n = lim_nsup_nkа_n

5) ⁰ lim_nа_n = lim_ninf_nkа_n

Предел функции.Определение предела по Коши.

Def.1 (Коши).Число А называется пределом функцииf(x) f : ERточкаа- предельная точкаER, если>0=()>0: (xE и0<|x-a|<)  lim _Exaf(x)=A(или f(x)A при Exa)

f(x)

A+

A

f(x)

A-

f

x

a- x a a-

Пример lim _x-0x*sin(x)=0; >0=()>0; 0<|x-0|<= 

 0<|x|< ER; |x*sin(x)-0|= |x*sin(x)||x|  lim _x-0x*sin(x)=0

Def.2 Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.

U(a):=(,) <a<; Ů(a):=(,a)(a,) <a<; Ů(a)= U(a) \ {a}

U^±(a;E):= U^±(a)E ;U⁺(a):=(,), (>) - правосторонняя окрестность точкиа; U⁺(a):=(,), (>)- левосторонняя окрестность точкиа.

Ů():=(-,)(,+) -<,<+ Ů(;E):= Ů()E

U⁺():=(-,)

Def. 1’ Число А называется пределом функцииf:E R в точке а - предельной дляER, если

А U₂(A)  Ů_(a;E): x Ů(a;E)f(x) U₂(A) U_(A):=(A-,A+), >0

Ů_(a;E):=(a-,a)(a,a+)E >0

Последнее определение можно сформулировать короче, вспомнив, что такое образ множества. f : ER DE f(D)={f(x)R xR}

Def. 1’’ Число А называется пределом функцииf:E R в точке а, предельной дляER, если 

U₂(A) Ů_(a;E):f(U_(a;E))U_(A). Поскольку в каждой окрестности точки расположены некоторые симметричные относительно этой точки окрестности, то по определению предела функции по Коши можно предать следующую форму:

Def. 2 (Топологическое определение предела) Число A называется пределом функции

f : ER в точке а, предельной дляE, если  U(A) Ů(a;E):f(Ů(a;E))U(A)

Th.1 (теорема Гейне) Пусть задана f: ER и а-предельная точка множества Е

 lim _{E э ха}f(x) = A  [( (x_n)_n=1^ :E x_n a (n), x_na,  n N)   lim _nf(x_n) = A]

 1) то, что (lim _{E э ха}f(x) = A)(lim _nf(x_n) = A), сразу следует из определений. Действительно, еслиlim _{E э ха}f(x) = A, то для любой окрестностиV(A) точки А найдется проколотая окрестностьŮ (а) точки а в Е:x Ů_E(a) имеем f(x)  V(A).Если последовательноть{x_n}точек множества E\a сходится к а, то найдется номерNтакой, что приn>N будетx_n  Ů_E(a) и, значит, f(x_n)  V(A).

На основании определения предела последовательности, таким образом, заключаем, что lim _nf(x_n) = A

2) В обратную сторону: если А не является пределомf(x), при Е  xa, то найдется окрестностьV(A) такая, что при n  N в 1/n окрестности точки а найдется точкаx_n  E\a, такая,

что f(x_n) V(A). Но это означает, что последовательность {f(x_n)} не сходится к А, хотя последовательность {x_n} стремиться к а.

Пример: Доказать, что  lim _x0(cos(1/x)) ; f: xcos(1/x) область определения E = R\{0}. Возьмем

Ů(0), начиная с некоторого номера туда попадут x_n =(1/(/2+2**n)) и попадут числа x^’_n=1/(2**n)  n > N ; cos (1/ x_n)=cos (/2+2**n) =cos (/2) =0 n>N ;

cos (1/ x^’_n)=cos(2**n)=1

(x_n)_n=1^ и (x^’_n) _n=1^по теореме Гейне  предела (поскольку (x_n)_n=1^ и (x^’_n) _n=1^ сходятся к точке 0)

Теорема Гейне устанавливает тесную взаимосвязь между понятием предела числовой последовательности и предела функции в точке. Имея в виду теорему Гейне понятие предела функции в точке можно сформулировать на языке числовых последовательностей.

Def.(по Гейне). Число А называется пределомf: ER в точке а-предельной для Е, если

(x_n)_n=1^: E x_na (n), x_na, nN lim _nf(x_n)=A.

Тh.1 Если функция в точке а имеет предел, то он единственен.

Для числовой последовательности lim {x_n} – единственен  из теоремы Гейне вытекает , что lim функции в точке единственен

Тh.2 Пусть заданы функцииf: ER и : ER и пусть lim _{E э ха}f(x) = A иlim _{E э ха}(x) = В а-предельная точка для Е, тогда справедливы утверждения:

1) lim _{E э ха}(f(x)+(x)) = A+B

2) lim _{E э ха}(f(x)*(x)) = A*B

3) lim _{E э ха}(C*f(x)) = C*A

4) lim _{E э ха}(f(x)/(x)) = A/B

Доказательствонемедленно следует из соответсвующих теорем для числовых

последовательностей и т. Гейне или определения по Гейне.