Cуществование предела числовой последовательности.

Def.1(а)_n=1^ называетсяфундаментальной.

>0N= N(): |a_m-a_n|< приn> N₁ и n> N₁ Расстояние между членами этой последователь- ностиa_m иa_nменьше>0, если толькоmи n достаточно велики.

Критерий Коши.

Последовательность (а)_n=1^называется сходящейся, еслиlim_na_n она фундаментальна

 lim_na_n = a>0N= N(): |a_n-a|</2 приn> N()

|a_m-a_n|=|(a_m-a)-(a_n-a)| |a_m-a|-|a_n-a|<(/2+/2=) n> N()(а)_n=1^ - фундаментальна

2) (а)_n=1^ - фундаментальна >0N= N(): |a_m-a_k|< приm,k>N()

fixe k=N+1>N (зафиксировалиk) -<a_m-a_n< m>N=N()

1) a_N+1-<a_m< a_N+1+ m>N  последовательность ограничена

x_n=inf_mna_na_msup_mna_n= y_n I_n = [x_n , y_n] nN докажем, что эта система отрезков представляет собой стягивающуюся систему отрезков.

x_n=inf_mna_mx_n+1=inf_mn+1a_my_n+1=sup_mn+1a_nsup_mna_n= y_n

x_nx_n+1y_n+1y_n I_n+1 = [x_n+1 , y_n+1]  I_n = [x_n , y_n]

Докажем, что длина уменьшается. Из неравенства 1) получается a_N+1-<a_m 

a_N+1-inf_mna_m=x_n a_N+1-x_ny_n a_N+1+ n>N

|y_n|y_n- x_n a_N+1+-(a_N+1-)   система отрезков I_nстягивающаяся

Используя лемму о системе стягивающихся отрезков, согласно которой

 aR: aI_n т.е.x_nay_n nN |a_m-a|y_n-x_n<2<3  lim_na_n = a 

Существование предела монотонной последовательности.

Последовательность (а)_n=1^:

1) монотонно возрастающая, еслиa_n+1>a_nnN

2) монотонно неубывающая , еслиa_n+1a_nnN

3) монотонно убывающая , еслиa_n+1<a_nnN

4) монотонно невозрастающая, еслиa_n+1a_nnN

Th.1 (Вейерштрасса). Если(а)_n=1^монотонно не убывающая и ограничена сверху, то

lim_na_n = sup_nNa_n

>0 По определению точной верхней грани можно утверждатьN=N()

S-<a_N S-<a_Na_n< S< S+ nN  |a_n-S|< n>N  lim_na_n=S=sup_nNa_n 

Th.2 (Вейерштрасса). Если(а)_n=1^монотонно не убывающая и ограничена снизу, то

lim_na_n = inf_nN a_n Доказательствово аналогичноTh.1.

Неравенство Бернулли.

nN x>-1 имеет место: (1+x)ⁿ1+nx

1) приn=1 1+x1+x

2) предположим приn=k (1+x)^k1+kx

3) приn=k+1

(1+x)^k+1=(1+x)(1+x)^k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx² 1+(k+1)x 

Число е.

Th.1

1) lim _n(1+1/n) ⁿ=: e

2) e=inf_nN(1+1/n) ⁿ⁺¹=sup_nN(1+1/n) ⁿ

3) kN  (1+1/k)^k<e<(1+1/k) ^k+1

 x_n=(1+1/n) ⁿ⁺¹ , nN; (x_n) _n=1^ Покажем, что последовательность монотонно убывает x_n/ x_n+1>1, x_n-1/ x_n =(1+1/n) ⁿ/(1+1/n) ⁿ⁺¹=(n/(n+1))*((n ²+1-1)/( n ²-1))ⁿ=

=(n/(n+1))*(1+1/( n ²-1))ⁿ(n/(n+1))*(1+n/( n ²-1))> (n/(n+1))*(1+1/ n)=1  x_n-1> x_nn>2 nN x_n=(1+1/n) ⁿ⁺¹>0, nN; (x_n) _n=1^ - монотонно убывающая и ограничена снизу(по теореме Вейерштрасса)lim _n∞(1+1/n) ⁿ⁺¹=: (1+1/n) ⁿ=(1+1/n) ⁿ⁺¹/(1+1/n) e:= =lim _n(1+1/n) ⁿ= lim _n(1+1/n)ⁿ⁺¹/ lim _n(1+1/n)=lim _n(1+1/n)ⁿ⁺¹=  =e

=e= inf_nN(1+1/n) ⁿ⁺¹ (y_n) _n=1^ , где y_n=(1+1/n) ⁿ y_n+1/y_n=(1+1/n) ⁿ⁺¹/(1+1/n)ⁿ=

=(n+2)/(n+1)*((1+1/(n+1))/(1+1/n))ⁿ=(n+2)/(n+1)*(n(n+2)/(n+1)²)ⁿ=

(n+2)/(n+1)*(1-1/(n+1)²)ⁿ(n+2)/(n+1)*(1-n/(n+1)²)=

= (n+2)/(n+1)*( n²+n+1)/ (n+1)²=(1+(n+1)³)/ (n+1)³>1

(y_n) _n=1^ - монотонно возрастающая и поскольку lim _n∞y_n=eограничена снизу

По теореме Вейерштрасса lim _n(1+1/n) ⁿ=: e= sup_nN(1+1/n) ⁿ

e= sup_nN(1+1/n) ⁿ>(1+1/k) ^k e= inf_nN(1+1/n) ⁿ⁺¹<(1+1/k) ^k+1 k N 

Пользуясь 3-им пунктом этой теоремы, предполагая k=100получим

2,70...=1,01¹⁰⁰<e <1,01¹⁰¹=2,73...