Геометрическая иллюстрация понятия пределов.

(а)_n=1^а_n1 (n)>0N=N(): |а_n-a|< приn>N()

 отрезок точки а , который является последовательностью, должно быть расположено множество точек данной последовательности,вне любой окрестности лишь не более чем конечное число точек данной последовательностисходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность не всегда бывает сходящейся, она может быть и расходящейся.

Геометрическая иллюстрация предела.

a -  a a +  R

|а_n -a|<  n  N  а_n< a + ; а_n< a - ; a-  < а_n< a + 

В любой окрестности точки а, которая является пределом должно быть расположено бесконечное множество точек данной последовательности, а вне ее – конечное множество точек данной последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Последовательность не всегда является сходящейся, она может быть и расходящейся.

Пример. а_n=(-1)ⁿ((-1)) _n=1^ расходящаяся. Предположим (-1)ⁿ сходится в точке а,

а_n=(-1)ⁿa  R.

() ( ) ( )

-1 a 1 R

1) а±1 , тоокрестность точки а , но в ней нет ни одной точки последовательноститочка а не является пределом.

Th.1 (а)_n=1^:а_n=const; n>N₀ lim_nа_n=c >0N= N₀: |а_n-a|< приn> N₀ lim_nа_n=c

Th.2 (единственность предела).

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 Пусть последовательность имеет 2 предела а₁а₂ (а)_n=1^ U₁U₂=

В U₁ бесконечное количество членоввне её конечное, но вU₂ тоже бесконечное количество членоввне её тоже конечно. Мы пришли к противоречию.

U₁ U₂

( ) ( )

a₁ a₂ R

Th.3 Пусть заданы(а)_n=1^и(b)_n=1^; lim_nа_n=a; lim_nb_n=b;

1) lim_n(а_n+b_n)= lim_nа_n + lim_nb_n=a+b

2) lim_n(а_n*b_n)= lim_nа_n * lim_nb_n=a*b

3) lim_n(а_n*c)= lim_nа_n *c=a*c

4) lim_n(а_n/b_n)= lim_nа_n / lim_nb_n=a/b, b0.

(1) >0N₁= N₁(): |a_n-a|< приn> N₁ >0N₂= N₂(): |b_n-b|< приn> N₂; N:=max(N₁,N₂) |a_n+ b_n-(a+b)|= |(a_n-a)+(b_n-b)|; |(a_n-a)+(b_n-b)| |a_n-a|+|b_n-b|(/2+/2=) n> N 

Переход к пределу неравенства.

Th.1 (а)_n=1^;(b)_n=1^ - сходящиеся; lim_nа_n=a; lim_nb_n=b; а_nb_nn>N₀ ab;

>0N₁= N₁(): |a_n-a|< приn> N₁ >0N₂= N₂(): |b_n-b|< приn> N₂

 

a-<a_n<a+ b-<b_n<b+

N:=max(N₁,N₂,N₀); a-<a_nb_n<b+; ab+2  ab 

Th.2 (x _n)_n=1^,(y _n)_n=1^,(z _n)_n=1^

1) lim_nx_n = x = lim_nz_n

2) N₀N: x _ny _nz _n n> N₀ lim_ny_n =x >0N₁= N₁(): |x_n-x|< приn> N₁

>0N₁= N₁(): |y_n-y|< приn> N₁ N:=max(N₁,N₂,N₀) n>N

x-< x_n x-<x_ny_nz_n<x+  |y_n- x|< n>N lim_ny_n =x

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Def.1 ( _n)_n=1^-бесконечно малая последовательность, еслиlim _n _n=0 >0N=N(): | _n|< приn>N

Th.1 (а)_n=1^ аRа_n=a+ _n nN ( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность.

 lim_na_n = a  lim_n (a_n -a)=0; a_n -a=: _n  а_n=a+ _n nN ( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность

Def.1 Говорят, что ( _n)_n=1^ - бесконечно большая последовательность, если( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность и _n=1/ _n nN; lim_n_n = Если произведение  _n=1/ _n  _n >0 n>N₀, то lim_n_n = +, если  _n<0 n>N₀, то

lim_n_n = - 

Def.2 Последовательность(а)_n=1^называетсяограниченной сверху, еслиМR :а_nM nN Последовательность ограниченная сверху или снизу называетсяограниченной :lim_n_n =   МR; N=N(M) |_n| > M n>N  _n=1/ _n ; |_n|=1/(| _n|) | _n|< n>N

 _n=1/ _n >1/=M n>N

Если последовательность бесконечно большая, то она не может быть ограничена, однако не каждая ограниченная последовательность является бесконечно большой.