Свойства точных граней.

1. Cвойство точной верхней грани.Х - ограниченное сверху числовое множество и а=supX. Тогда : 1) xa , xX 2)  a₁ <a , x₁ x : x>a₁

Этими двумя свойствами определяется точная верхняя грань множества.

2. Cвойство точной нижней грани.Х - ограниченное снизу числовое множество иb=infX. Тогда : 1) xb , xX 2)  b₁ >b , x₁ x : x<b₁

Этими двумя свойствами определяется точная нижняя грань множества.

Пример1:Множество Х=(1:2]{3} , supX=3 , infX=1.

Пример2:Множество Х=N , supX=+ , infX=1.

Если ограниченное сверху множество Х имеет максимальный элемент,то он совпадает с точной верхней гранью, аналогично если ограниченное снизу множество Х имеет минимальный элемент,то он совпадает с точной нижней гранью.

Лемма о стягивающихся отрезках (Коши-Кантор).

Def.1 Cистема или последовательность отрезковI₁ ,I₂ ,...,I_n ,...называется

стягивающейся системой,если выполнены условия:

1. I₁ >I₂ >...>I_n >...

2. I_n =[a_n b_n ] , то b_n -a_n <  ,  >0.

Lem. Какова бы ни была система стягивающихся отрезков,существует единственная точка с I_n ,nN (c=^_n=1 I_n).

 I_n =[a _n,b_n ] A=[a₁ ,a₂ ,..., a _n ,...] , B=[b₁ ,b₂ ,...,b_m ,...] , a_m b_n ,m,nN .

Согласно аксиоме полнотысR : a_m cb_n , m,nN ,m=n , a_ncb_n , nN

 c I_n = [a_n,b_n] , nN  c ^_n=1 I_n

Докажем , что с - одна:Предположимс₁ис₂ :с₁ I_n , c₂ I_n , nN

c₁ -c₂ =:>0 , I [c₁ ,c₂ ] , nN , это невозможно,т.к. означает,что:

0<b_n -a_n < , >0.

Лемма о предельной точке множества.

Def.1 ОкрестностьюточкиpR называется любой интервал(a,b)эp

Def.2 Пусть задано множество ХR , точкаpRназываетсяпредельной точкой

множества Х ,если в любой окрестности точкиpсодержится бесконечное подмножество множества Х.Множество всех предельных точек множества называетсязамыканиеммножества Х

Lem. (о предельной точке) XR имеет хотя бы одну предельную точку. Любое ограниченное множество имеет пустое замыкание Х.

X - ограничено, I₀=[a,b]Х, докажем,чтот.p[a,b] и является пр точкой Х,с₁ лежит в середине отрезка[a,b],c=(a+b)/2 .Рассмотрим 2 отрезка[a,с₁ ][с₁ ,b], хотя бы в одном лежит Х,с₂=(с₁+b)/2 , рассмотрим отрезки[с₁,с₂ ][с₂ ,b], хотя бы в одном лежит Х,[с₁ ,с₁ ] - бесконечное множество.Продолжим этот процесс до,тогда получим систему стягивающихся отрезков и по лемме имеем,чтоединственная точка pI_n: 1.p I₀ , 2. Вокрестности точкиp I_n I₀  точкаp - предельная точка множества Х 

Теория пределов.

Def.1 Числовой последовательностьюназывается функция NR, т.е. функция определена на множествеN и принимающая значения на множествеR

Значения f(n) называютсячленамипоследовательности и аргументыnзаписываются в виде нижнего индекса.

Последовательность обозначается {f₁, f_2, f_3, ...,f_n, ...}или(f)_n=1^ f_n называется общим членом последовательности.

Пример. f_n =1/n (1/n)_n=1^ = {1,1/2,1/3,...,1/n,...}

Def. 2 Пусть задана последовательность(а)_n=1^аR называетсяпределнашейпоследовательности, если>0N=N(): |а_n-a|< приn>N() a=lim_na_n a_na(n)

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае -расходящаяся.

Пример.  lim_n(1/n)=0>0; |1/n-0|< 1/n< n=[1/] [x] - целая частьx

Наибольшее целое число, не превосходящее х[3,2]=3; [-2,5]=-3.