Аксиоматика вещественных чисел.

R - множество вещественных чисел,еслиxR , yR , то(x+y)R

Аксиомы сложения.

1)x,y  R  x+y=y+x (коммутативный закон сложения)

2)x,y,z  R  (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон сложения)

3)0: xR x+0=x

4)xR x¹ : x+ x’ =0 (x=-x’)

Аксиомы умножения.

(x,yR  xy=R ):

1)x,y  R  xy=yx

2)x,y,z  R  (xy)z=x(yz)

3)1 : xR x*1=x

4)xR\{0}  x”x *x ^”=1 (x=1/ x” =x^-1)

5)x,y,z  R  x(y+z)=xy+xz

МножестваR,удовлетворяющие аксиомам 1 и 2,называются алгебраическим полем.

Аксиомы порядка.

Эти аксиомы говорят о том,что между любыми элементами множестваRдействует

отношения порядка ,согласно которому дляx, y R верно(xy)(yx)

Свойства

1)xx xR

2)(xy)(yx)  x=y

3)Если (xy)(yz)  xz x,y,z R

4)xy  x+zy+z ,x,y,z R

5)(x0)(y0)  (xy0) ,  x,yR

Множества ,удовлетворяющие аксиомам 1-3,называется линейно-упорядоченным полем

Аксиома полноты (непрерывности).

X и Y непустые подмножества множестваR,такие,чтоxXyY справедливо

xy,тогдасR : xcy , xX ,yY.

Точные грани числовых множеств.

Def.1 Числовое множество Х называетсяограниченным сверху ,еслисR :xc ,xX

При этом число с называется мажорантой Х (или верхней гранью Х). Множество всех мажорант множества Х обозначим символом М(Х)

Th.1 Множество Х ограниченоcверху ,когда М(Х).

1) Пусть Х - ограничено сверху,с:xc , cX  , что cM(X) - множество всех мажорант  M(X)

2) Пусть М(Х)  cM(X)  xc ,xX - множество ограничено

Def.2 Числовое множество Х называетсяограниченным снизу ,еслисR :сх ,xX. При этом число с называетсяминорантой Х (или нижней гранью Х).Множество всех мажорант множества Х обозначим символомm(Х)

Th.2 Множество Х ограничено снизу,когдаm(Х).

 1) Пусть Х - ограничено снизу,с:сх , cX  , что cm(X) - множество всех минорант  M(X)

2) Пусть м(Х)  cM(X)  сх ,xX - множество ограничено.

Def.3 Пусть Х - числовое множество.Число аХ называетсямаксимумоммножества Х или наибольшим эл-том множества Х,если выполнено неравенство ха,xX , a=max(X) илиa=max(x) , xX

Def.4 Пусть Х - числовое множество.ЧислоbХ называетсяминимумом множества Х или наименьшим эл-том множества Х,если выполнено неравество хb,xX , b=min(X) илиb=min(x) , xX .

Def.5 (Определение точной верхней грани множества) X - ограниченное сверху числовое множество и М(Х) - множество всех его мажорант,тогдаточной верхней граньюХ называется числоminM(X), это число обозначаетсяsup(x) ,xX ( sup(x)=minM(x) ) .

Def.6 (Определение точной нижней грани множества) X - ограниченное снизу

числовое множество и М(Х) - множество всех его минорант,тогдаточной нижней граньюХ называется числоmaxM(X), это число обозначаетсяinf(x) ,xX

(inf(x)=max m(x) ).

Теоремы существования точных граней множеств.

Тh.1 ПустьX-ограниченное сверху числовое множество,тогдаверхняя грань множестваX

Х и М(Х) - два множества , xy , xX , уM(x).Cогласно аксиоме полнотысR : xcyдля xX и yM(X) . Cледует,что с - мажоранта ХсМ(Х), Также с=minM(X)=supX 

Тh.2 ПустьX- ограниченное снизу числовое множество,тогданижняя грань множестваX.

Х и m(Х) - два множества, yx , xX , уm(x).Cогласно аксиоме полнотысR : ycx для xX и ym(X) . Cледует,что с - миноранта Хсm(Х), Также с=maxM(X)=infX 

Если: supX=+  X не ограничено сверху, M(X) .

infX=-  X не ограничено снизу , m(X) .