Дифференцирование параметрически заданных функций.

Пусть заданы 2 функции x = x(t) иy = y(t)– дифференцируемые в точкеt ₀ .Пусть x = x(t) в некоторой окресности имеет непрерывную обратную функциюt = t(x), тогдаy = y (t(x)), т.е. получаем сложную функцию аргумента.

y’_x = (y(t(x)))’ = y’_t *t’_x (x)

y’+_x| _x=xo =y’_t| _t=to *t’_x (x)=y’_t| _t=to(1/x’_t(t)|_t=to)

y’_x|(x ₀) = y’_t(t₀)/x’_t(t₀) , t₀ = t(x₀), x₀ = x(t₀)

Пример: x = t² + t t > 0 y’ = cost/(2t + 1) (x=t² + t) y = sint

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть f: ER  x E  f’(x): ER, тогда f’(x)- является некоторой функциейf’(x):ER, эта новая функция может быть также дифференцируема в точке х:

f’’(x) = f⁽²⁾(x) := (f’(x))’

f’’’(x) = f⁽³⁾(x) := (f’’(x))’

-----------------------------

f⁽ⁿ⁾(x) := (f^(n-1) (x))’

f⁽⁰⁾(x)  f(x)

D_n (E) илиD⁽ⁿ⁾(E)– множество функцийf(x):  f⁽ⁿ⁾ (x),  x E

f⁽ⁿ⁾(x)  D_n (E)

Сⁿ(E) = {f(x): f:ER,  f⁽ⁿ⁾(x),  x E, f⁽ⁿ⁾(x)  C(E)}

Сⁿ(E)  D_n (E)

Дифференциалом 2-го порядка от функции f(x) называется дифференциал от дифференциала 2-го порядка f(x).

d(df(x)) =: d²f

d²f = d(df(x)) = d(f’(x)*h) = h * d(f’(x)) = h * f’’(x)*h = f’’(x)* h²

d²f = f’’(x)(dx) ² = f’’(x) dx²

dⁿf = d(d^n-1f) dⁿf = f⁽ⁿ⁾(x)*hⁿ = f⁽ⁿ⁾ (x)*dxⁿ

f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿf/dxⁿ

Инвариантность формы 1-го порядка.

Th. u=u(x) -дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) -дифференцируема в точкеu = u(x). Тогда дифференциал от сложнойфункции d(f(u(x)))

d(f(u)) = f’(u)du (1)

df(u) = d(f(u(x))) = (f(u(x)))’_xdx = f’_u(u)*u’_x(x)dx = f’_u (u)du 

Эта теорема показывает, что форма не меняется от замены независимой переменной на дифференцируемую функцию от х.

Дифференциалы высших порядков уже не обладают свойством инвариантности (доказать самим).

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Def.1 Пустьf: ER и точка х₀Е. Точка х₀называетсяточкой локального максимума (минимума), еслиU(х₀, E) := U(х₀)  E :  x U(х₀, E)  f(x)  f(х₀) (f(x)  f(х₀))

Def.2 Пустьf: ER и точка х₀Е. Точка х₀называетсяточкой строгого локального максимума (минимума), еслиU(х₀, E) := U(х₀)  E :  x U(х₀, E)  f(x) < f(х₀) (f(x) > f(х₀))

Def.3 Точки локального максимума (минимума) называютсяточками эстремумов функцииf(x), а значения f(x)- эстремумами.

Def.4 Точка х₀называетсявнутренним локальным экстремумом функцииf: ER, если

1. х₀ Е

2. х₀–предельная точка для 2-х множеств: U⁺ (х₀, E):= (a,х₀ )  E

U^- (х₀, E):= (х₀, b )  E

Пример:f(x) = x²; -1  x  1 E = [-1, 2)

1; 12 , 2

точка х = (-1) – точка строгого локального максимума

точка х = 0 – точка строгого локального внутреннего минимума

точка х = 1 - точка локального внутреннего максимума

точки 1 < x < 2 – точка внутреннего максимума и минимума одновременно

точка х = 2 не является точкой строгого локального максимума

Th. (теорема Ферма)

Пусть f: ER, точка х₀– точка внутреннего локального экстремума, еслиf(x) – дифференцируема в точке х₀, тоf’(х₀) = 0.

f = f(х₀ + h) – f(х₀) = f’(х₀)*h + ō(h) = [f’(х₀) + ō(1)] * h (1)

от противного: т.е. правая часть равенсва (1) приh достаточно близких к 0 сохраняет знак производнойпри изменении знакаh(при условии, что х₀+h  E)

правая часть (1) меняет знак, что невозможно, поскольку, если точка х₀– точка максимума функции, то левая часть (1) не положительна в окресностиU(х₀, Е), а если минимума, то левая часть (1) – неотрицательна в той же окресностилевая часть менять знак не может, а правая при измененииh меняет знакпротиворечие.

Для точки внутреннего экстремума hможет быть больше и меньше 0.

f(x)

касательная, параллельная оси абсцисс

х₀ х

Th.(теорема Ролля)

Пусть f: ER, которая обладает 3-мя свойствами

1. f  C[a, b]

2. f  D₁(a, b)

3. f(a) = f(b)

Тогда с(a, b): f’(c) = 0

В силу 1) по теореме Вейерштрасса x₁, x₂ [a. b], в которыхf(x)принимает соответственно минимальное и максимальное значения.

Тогда могут быть 2 случая:

1. f(x₁) = f(x₂)  f(x) = const f’(x) = 0; c = x (a, d)

2. f(x₁) < f(x₂) и т.к.f(a) = f(b),то отсюда, что хотя бы одна из точек x₁илиx₂ будет расположена внутри[a, b], т.е. на интервале от a до b, именно эту точку мы и возьмем в качестве точки с.

В точке с все условия теоремы Ферма выполнены поэтому f’(c) = 0

f(x)

a c’ c” b х

Th.(теорема Лагранжа о конечных приращениях)

Пусть f: ER :

1. f  C[a, b]

2. f  D₁(a, b), тогда  с  (a, b) : f(b)-f(a) = f’(c)*(b-a)

 Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – (f(b)-f(a))/(b - a)*(x - a)

F(x) отличается отf(x) на линейную функциюF(x)  C[a, b], F(x)  D₁(a, b)

F(a) = f(a); F(b) = f(b) – f(b) + f(a) = f(a) F(a) = F(b)

Все условия теоремы Ролля выполнены с(a, b); f’(c) = 0;

0 = F’(c) = f’(c) – (f(b)- f(a))/(b - a)  f(b) – f(a) = f’(c)*(b - a) 

Найдется точка в которой касательная параллельная хорде.