Равномерная непрерывность.

Рассмотрим обычное определение непрерывности функции в точке f:ER, назыавется непрерывной в точке аЕ>0 >0:(xE и|x-a|<)|f(x)-f(a)|<. Вообще говоря,=(,а)

При изменении точки а для одной и тойже функции fи для того же>0, число, выбираемое побудет изменяться.

Это не очень важно, если точка а фиксирована. Однако, если точка а изменяестся на множестве АЕ, то может возникнуть 2 случая:

1) Для каждой точки аА>₁>0

2) ₁>0:аА>₁>0, т.е.

a) inf_aA(,а)= ₁>0

b) inf_aA(,а)=0. Функция является равномерно непрерывной в 1-ом случае.

Def.2 Пусть задана f:ER (Е-числовое множество). Эта функция называется равномерно

непрерывнойна множестве АЕ, если>0 =()>0: (x₁A и x₂A: |x₁- x₂|< 

|f(x₁)-f(x₂)|<).Еслиx₂=a,x₁=х, то определение равномерной непрерывности функцииfна множестве А превращается в обычное определение непрерывности функцииfв точке а.из равномерной непрерывности на множестве А вытекает обычная непрерывност на том же множестве А, а обратное утверждение неверно.

Пример f(x)=x²R, непрерывна наR, но не равномерно непрерывна наR.

Докажем это:рассмотримx_n’=(n+1)^1/2 иx_n”=n^1/2 nN | x_n’- x_n”|=(n+1)^1/2-n^1/2=

=1/((n+1)^1/2+n^1/2)0 (n) |x_n’-x_n”|> (>0) приn-достаточно большом, рассмотримf(x_n’)=((n+1)^1/2) ²=n+1

f(x_n”)=(n^1/2)²=n; |f(x_n’)-f(x_n”)|=n+1-n=1  разность не мала, хотя точки близки друг к другуфункцияf(x)не является равномерно непрерывной на множествеR.Однако.

Th. (теорема Кантора о равномерной непрерывности (из Зорича))

Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке

Пусть f: ER; E = [a, b] иf  C(E). Посколькуf непрерывна в любой точке хЕ, то по > 0 можно найти такую-окрестностьU^(x)точки х, что колебание(f, U^_E(x)) на

множестве U^_E(x) := E  U^(x) окажется меньше . Для каждой точки хЕ построим окрестность U^(x) обладающую этим свойством. Величина  при этом может меняться поэтому окрестности обозначим U^(х)(x). Введем условную запись U(x) = U^(х)(x) и

V(x) = U^1/2(x)(x). ИнтервалыV(x), хЕ, в совокупности образуют покрытие отрезка

E = [a, b]. Из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное покрытиеV(x₁), …, V(x_n). Пусть  = min{1/2(x₁), …, 1/2(x_n)}. Покажем, что для любых точек х’, x’’  E, таких, что|x’-x’’|<, выоплнено|f(x’)-f(x’’)|<. Действительно, поскольку система интеваловV(x₁), …, V(x_n) покрывает Е, найдется интервал V(x_i) этой системы, который содежит точку х’, т.е. |x’ - x_i|<1/2(x_i), но в таком случае

|x’’- x_i| | x’ – x’’| +| x’ - x_i | <  +1 /2(x_i) < 1/2(x_i) + 1/2(x_i) = (x_i).

 x’, x’’ U^(xi)_E(x_i) = E  U^(xi)(x_i) и потому| f(x’) - f(x’’)|  (f, U^(xi)_E(x_i)) < 

Дифференциальное исчисление. Приращение функции.

Def.1 f : E R и х-предельная точка для Е. Пустьh  R : x + h  R, тогда разность

f(x +h) – f(x) =: f называетсяприращением функцииf = f(x, h)

f(x) x: RR f =: x =x+h-x = h x =x (h)

Th.1(Критерий непрерывности функции в точке)

f : ER непрерывна в точка хЕlim _{h0, x + h  E} f = 0

 0 = lim _{h0, x + h  E} f  lim _{h0, x + h  E} (f(x + h) – f(x)) = 0 

lim _{h0, x + h  E} f(x + h) = f(x)  функция непрерывна в точке хЕ

f – непрерывна в точке хЕf = ō(1) (h0, x  E)