F(0,1] Эта функция не является ограниченной и не достигает явно наибольшего значения на интервале (0,1] Свойства монотонных функций. Def.2 f:er называется .

1. монотонно неубывающей на [a,b]Е (f на[a,b]), если x₁,x₂[a,b]: x₁<x₂  f(x₁)f(x₂)

2. монотонно возрастающей на[a,b]Е (f на[a,b]), если x₁,x₂[a,b]: x₁<x₂  f(x₁)<f(x₂)

3. монотонно невозрастающей на[a,b]Е (f на[a,b]), если x₁,x₂[a,b]: x₁>x₂  f(x₁)f(x₂)

4. монотонно убывающей на[a,b]Е (f на[a,b]), если x₁,x₂[a,b]: x₁>x₂  f(x₁)>f(x₂)

Такие функции называются монотонными функциями на [a,b]. Монотонные функции обладают рядом свойств, которыми не обладают немонотонные функции.

Th.1 (о точках разрыва монотонных функций) Пусть заданаf: [a,b]R, которая

является монотоной на [a,b]. Тогда :

Если f на[a,b], то  x₀[a,b] lim_хxo+0f(x)=:f(x+0)=inf_х[xo,b]f(x)=:A и

1)lim_хxo-0f(x)=:f(x-0)=sup_х[xo,b]f(x)=:B и справедливо неравенство:

B=f(x₀-0)f(x₀)f(x₀+0)=:A

2) Еслиf на[a,b], то  x₀[a,b] lim_хxo+0f(x)=:f(x+0)=sup_х[xo,b]f(x)=:C и

lim_хxo-0f(x)=:f(x-0)=inf_х[xo,b]f(x)=:D и справедливо неравенство

С=f(x₀+0)f(x₀)f(x₀-0)=:D

Замечание Если f на[a,b], то (-f) на[a,b] и если мы докажем, что какой-то результат (-f)мы то дляfмы автоматически получамем результат и наоборот1)2), если взять(-f) вместо f  достаточно достаточно доказать 1), а 2) получаим из 1заменой f(x) на (-f(x))

) В силу монотонного неубывания f на [a,b]имеем:f(x₀)f(x) x(x₀,b] (1); f(x₀)f(x) x(x₀,b] (2). Из (1) f(x₀)-миноранта множества значений функцийf на (x₀,b] f(x₀)inf_0x(xo,b]f(x)=A

Из 2)  f(x₀)-мажоранта множества значений функцийf на [а,x₀) f(x₀)sup_{0x[a, xo)}f(x)=A

A f(x₀)BДоукажем, чтоA=f(x₀+0) >0 [A,A+]. По определению точной нижней граниx₁(x₀,b): f(x₁)[A,A+], т.к. функция монотонно неубывает, тоx(x₀,x₁) f(x)[A,A+] [A,A+]= U⁺(A) U⁺(x₀)= (x₀,x₁):f(U⁺(x₀)) U⁺(A), а это означает по определению правого предела, что f(x₀+0):=lim f(x)=A. Аналогично левый предел равен В.  f(x₀+0):=A f(x₀+0):=B

Следствие Функция f:ERмонотонная на[a,b]Еона она может иметь только точки

разрыва первого рода типа конечного скачка.

По теореме  f(x₀+0) и  f(x₀-0)  x₀[a,b]  еслиx₀– точка разрыва, то она точка разрыва первого рода, причем устранимого разрыва здесь быть не может, т.к. точка устранимого разрываf(x₀+0)= f(x₀+0) f(x₀), этого быть не может  f(x₀-0) f(x₀) f(x₀+0), еслиf на[a,b] f(x₀-0)f(x₀)f(x₀+0), еслиf на[a,b]. Если был бы устранимый разрыв, то функция становилась бы автоматически непрерывной в силу последних неравенств  x₀ может быть только конечным скачком.

Th.2 Множество точек разрыва монотонной на отрезке[a,b] функцийне более чем счетно.

Lem.Пусть функцияf:[a,b]R и fмонотонна на[a,b]. Тогда число точек, в которых модуль

скачка функции больше заданного положительного числа , является конечным.

Пусть точка x’[a,b]-точка разрыва функции, а скачок h(x’)=f(x’+0)-f(x’-0)

Пусть f на [a,b] Если так, то h(x’)>0 h(x’)>>0. Предположим, что таких точекx’ бесконечное число, тогда сумма всех скачков функции в точке x’ будет равна 

С другой стороны сумма всех скачков не превосходит _x’ h(x’)f(b)-f(a)<+ противоречиетак точек конечное число

( Th.2) Пусть kN. Обозначим через А_к множество точек разрыва, в котором модуль скачка> 1/k. Тогда множество А точек разрыва функции fбудет равно А=U^_к=1А _кА есть счетное объединение конечных множеств, т.к. по лемме каждое множество А _кне более чем конечно , а счетное объединение конечных множеств есть множество счетноеА – счетное множество

Th.2 иTh.2выражают свойсьтва монотонных функций.

Th.3 (Критерий непрерывности монотонной функции). Пусть функция f:[a,b]R является

монотонной. Для того, чтобы fС[a,b] (была непрерывной) необходимо и достаточно, чтобы эта функция отображала [a,b] в отрезок с концамиf(a)иf(b).

Докажем Th.3для случаяf на[a,b]. Случай f на[a,b] сводится к предыдущему заменой fна –f. Требуется доказать, что из условияfС[a,b] f([a,b])= [f(a), f (b)]

1)Пусть fС[a,b]. Тогда по следствию из Th. Больцано-Коши заключаем, что l[f(a),f(b)]: c[a,b]:l=f(c)-это означает, чтоf([a,b])= =[f(a), f (b)] (это верно для  непрерывной функции)

2) Пусть f([a,b])= [f(a), f (b)] и требуется доказать, что функция непрерывна при условии, что она монотонна. Предположим противное, т.е.  x₀[a,b] x₀ – точка разрыва функции f. СогласноTh.1в точкеx₀ – разрыв первого рода типа конечного скачка, т.е.f(x₀-0);f(x₀+0)

f(x₀-0)f (x₀)f(x₀+0) (f на[a,b]). Хотя бы в одном из этих неравенств имеет место знак строгого неравенства. Рассмотрим 2 множества (f(x₀-0), f(x₀)), (f(x₀),f(x₀+0)). Хотя бы одно из этих множеств является интервалом,свободным от значений функцииf(x). Таким образом, функцияfдолжна отображать[a,b]на часть отрезка[f(a), f (b)], что противоречит условию

f([a,b])= [f(a), f (b)]  Th.3 доказана.

Возникает вопрос, существенно ли в этой теореме предположение о монотонности функции, т.е. верно ли утверждение, что если функция отображает отрезок в отрезок, то она является непрерывной на отрезке? Это не верно!  условие монотонности в этой теореме является существенным.

Th.4(О достаточном условии и непрерывности обратной функции).

Пусть задана f:ХR монотонная (монотонна возрастает или монотонна убывает на Х), т.е.f на Х илиfна Х. Тогда:

1) f^-1:IX, где I= f(х). При этом характер монотонности функции f^-1 на I такой же, как и характер монотонности fна множестве Х

2)Если Х[a,b] и fС[a,b], то  f^-1-непрерывна на множестве I – отрезке с концами f(a) и f(b)

Докажем Th.4 для f, а сводится f заменой f на –f. Если f на Х x₁,x₂Х: x₁<x₂ f(x₁)<f(x₂). Это означает, что если x₁x₂(x₁Х иx₂X), тоf(x₁)f(x₂)

Это значит, что отображение, осуществленное функцией fмножества Х на множествоI:=f(X), являются взаимно однозначными (инъективными), а функция- инъекцией

Кроме того f^-:X I, где I= f(х) осуществляет отображение множества Х на все множество I, т.е. это отображение сюрьективно. Таким образом, f^-:X I = f(х), является биекцией   f^-1:IX, где I= f(х). Докажем, что функция f^-1монотонна возрастает на I . Для этого рассмотрим2 числа у₁,у₂I:у₁<у₂; у₁=f(x₁); у₂=f(x₂)  f(x₁)<f(x₂) x₁<x₂ рассмотрим

f^-1(у₁)= f^-1(f(x₁))=x₁(по определению обратной функции);f^-1(у₂)= f^-1(f(x₂))=x₂.Но x₁<x₂ 

x₁= f^-1(у₁)< f^-1(у₂)=x₂  изу₁<у₂вытекает

f^-1 (у₁)<f^-1 (у₂) f^-1 наI (1-е доказано).Докажем

2-ое:Х=[a,b] и fС[a,b]  f^-1С[f (a),f(b)]; f на [a,b]

fС[a,b]  f([a,b])= [f (a),f(b)]=I 

 f^-1:[f (a),f(b)] [a,b]f^-1С[f (a),f(b)] 

Обратная функция , эта функция не является непрерывной, т.к. условие монотонности нарушено.