Трехмерное течение газа

Уравнение сплошности.

Выделим в установившемся потоке газа параллелепипед, стороны которого dx, dy, dz ориентированы параллельно соответствующим координатным осям (рис.4). Составим баланс массы газа, вытекающего через грани параллелепипеда (естественно, что хотя бы через одну грань газ должен вытекать что приведет к изменению знака соответствующей проекции скорости).

Рис. 4.

Вдоль оси х через левую грань втекает ρw_xdydz, а через правую – (ρw_x+ (ρw_x)/ x۰dx)dydz. Тогда всего вдоль оси х втекает – .

Рассуждая подобным образом, получаем аналогичные выражения для осей y и z.

Так как процесс стационарный, масса газа, заключенная в параллелепипеде, не изменяется во времени, поэтому сумма масс газа, втекающих в него, должна равняться нулю. Суммируя все вытекающие массы и учитывая, что объем параллелепипеда dxdydz не равен нулю, получаем:

.

Для несжимаемой жидкости (ρ=const) уравнение сплошности принимает вид:

.

Уравнение движения.

Ускорение элементарной массы жидкости или газа может быть обусловлено как изменением скорости в отдельных точках потока с течением времени (локальное ускорение), так и перемещением этой массы в пространстве (конвективное ускорение).

На рис.5а изображен случай истечения жидкости или газа из сосуда через цилиндрическую трубку. Уровень жидкости в сосуде по мере истечения падает. Скорость во всех сечениях трубки одинакова, но непрерывно уменьшается с течением времени (конвективное ускорение равно нулю, локальное не равно нулю).

На рис.5б показан сосуд, уровень жидкости в котором поддерживается постоянным. При истечении жидкости через коническую трубку скорость движения с течением времени не изменяется, однако она переменна вдоль трубки (локальное ускорение равно нулю, конвективное ускорение не равно нулю). Найдем выражение конвективного ускорения в трубке применительно к случаю 5(б). Пусть некоторая элементарная масса жидкости проходит отрезок трубы длиной dx за время dτ. Тогда dτ=dx/w.

Рис 5

Подставляя это значение в общую формулу для определения ускорения a'=dw/dτ, получим выражение для конвективного ускорения: a'=dw/dx۰w; а также для конвективного ускорения в направлении оси х:

.

В общем случае полное ускорение вдоль х равно сумме локального и конвективного:

.

Переход к частным производным вызван тем, что ускорение (как конвективное, так и локальное) имеет место также и в направлениях y и z. Выражения для других направлений получаются аналогично.

У равнения движения являются выражением принципа Даламбера Ma’=Σp для элементарной массы газа, отнесенной к объему, занимаемому этой массой. Для установившегося трехмерного течения при постоянных вязкости (μ) и плотности (ρ) они имеют следующий вид:

Эти уравнения называются уравнениями Навье-Стокса. Каждое из них – для одной из координатных осей. Левые части представляют собой произведения удельной массы (плотности) на конвективные ускорения. Так как каждая компонента скорости может изменяться по всем трем направлениям, проекции ускорений на координатные оси представлены трехчленами. В правых частях суммируются силы, действующие на элементарную массу газа. Первый член представляет собой силу тяжести, действующую на элемент и отнесенную к его объему. Если ось z направлена вверх, то проекции силы тяжести на оси у и х равны нулю. Следующий член представляет собой проекцию градиента давления на ось z или равнодействующую сил давления вдольэтой оси, отнесенную к объему элемента. Последний член отражает действие сил вязкости.

Уравнение Новье-Стокса можно упростить. Если жидкость движется с большой скоростью или ее вязкость мала, то вязкостными членами можно пренебречь (такое уравнение справедливо для турбулентного течения или идеальной жидкости).

Если вязкость велика или скорость течения мала (ламинарное течение), то можно пренебречь левыми частями уравнения. Для оси z уравнение Новье-Стокса в этом случае приобретает вид:

Аналогичную форму примут уравнения для других осей.