Тема: Основные уравнения одномерного течения газа

Уравнение сплошности.

Если рассматривать два произвольных сечения струйки тока, то при установившемся течении уравнение сплошности для этих двух сечений можно записать так:

ρ₁w₁f₁=ρ₂w₂f₂.

Для струйки несжимаемой жидкости (ρ₁=ρ₂) это уравнение упрощается:

w₁f₁=w₂f₂.

Уравнение импульсов.

В механике материальной точки теорему импульсов формулируют так: «изменение проекции количества движения на какую-нибудь ось равно проекции импульса действующей силы на ту же ось»

d(Mw_x)=P_xdτ.

P.S. Импульсом тела называется произведение массы тела на скорость.

Импульсом силы называется произведение силы на время её действия.

Применим эту теорему к элементарной струйке газа, движущуюся без трения (рис.3). Рассмотрим проекции сил и количеств движения на ось х. Ось z направлена вертикально вверх, следовательно, проекция силы тяжести на ось х будет равна нулю. Не равны нулю будут лишь проекции сил давления. За время dτ объем, заключенный между сечениями 1 и 2, переместится в бесконечно близкое положение 1'-2'.

Рис. 3

Изменение количества движения при переходе из положения 1-2 в положение 1'-2' составит:

d(M*w_x)=w_x2dM₂-w_x1dM₁.

На основании закона сохранения массы

dM₁=dM₂=m₁dτ=m₂dτ

можно написать:

d(Mw_x)=w_x2m₂dτ-w_x1m₁dτ=(w₂m₂-w₁m₁)_xdτ.

На рассматриваемый элемент струйки действуют только силы давления, поэтому проекция импульса силы на ось х составит:

P_xdτ=(ρ₁f₁-ρ₂f₂)_xdτ.

Подставив полученные равенства в исходное уравнение, получим уравнение импульсов (уравнение Эйлера) для струйки газа или жидкости:

(w₂m₂-w₁m₁)_x=(ρ₁f₁-ρ₂f₂)_x.

Поток газа складывается из отдельных струек, поэтому уравнение Эйлера справедливо для любого замкнутого контура, выделенного в потоке газа (жидкости):

(Σw₂m₂-Σw₁m₁)_x=ΣP_x.

Уравнение импульсов можно сформулировать так:

Разность количеств движения газа, вытекающего из какого-либо контура и втекающего в него, спроектированного на какую-нибудь ось, равна сумме сил, действующих на этот контур, спроектированную на ту же ось.

Ценной особенностью уравнения импульсов является то, что в него не входят величины, связанные с процессами, протекающими внутри рассматриваемого контура.

Уравнение энергии.

Прежде всего отметим, что кинетическая энергия движущегося газа связана со скоростью его движения хорошо известным соотношением:

.

Применительно к газам и жидкостям чаще пользуются секундной кинетической энергией (мощностью):

Потенциальная энергия обусловлена положением тела в силовом поле. Задачи, которые встречаются в технике, чаще всего связаны с перемещением тела в поле силы тяжести, направленной вертикально вниз. Если направить ось z вверх, то проекции силы тяжести на координатные оси будут равны:

P_x=0, P_y=0, P_z=-Mg.

Изменение потенциальной энергии при перемещении тела из одной точки поля в другую равно работе, затраченной на это перемещение. Работа, затраченная на перемещение тела с высоты z₁ на большую высоту z₂ равна:

-L_n^*=P_z(z₂-z₁)=-Mg(z₂-z₁)=-ρVg(z₂-z₁).

Отсюда изменение потенциальной энергии составляет:

П₂-П₁=L_n^*=Mg(z₂-z₁).

Остановимся несколько подробнее на таком понятии, как работа газа. Работа газа обязательно связана с перемещением хотя бы его части. Она может сопровождаться как изменением объема (например, в результате нагревания), так и механическим перемещением в поле давления. Работа изменения объема (расширения или сжатия) от V₁ до V₂ равна:

L_n – удельная работа; V^* - удельный объем.

Работа, сопровождаемая поступлением газа (как и любого другого тела) из области с давлением р₁ в область с давлением р₂ называется работой вытеснения. Она равна:

L_p – удельная работа; v^* - удельный объем.

Знак «минус» в последнем выражении обусловлен тем, что положительная работа получается при перемещении газа из области с высоким давлением в область с низким давлением. Таким образом, работа изменения объема и работа вытеснения различны по знакам, поэтому суммарная работа, называемая работой проталкивания, равна:

или для единицы массы

.

В заключении сформулируем первое начало термодинамики для движущегося газа:

Сообщенное газу тепло плюс совершенная над ним работа равны приращению его внутренней, кинетической и потенциальной энергий.

Учитывая вышеизложенное, вернемся к нашей элементарной струйке и выделенному из нее объему (рис.3). За время dτ объем dV переместится из положения 1-2 в положение 1'-2'. Однако, этот процесс мы, как и ранее, будем рассматривать как переход объема ΔV₁ (сечение 1-1') в положение объема ΔV₂. При этом по-прежнему dM₁=dM₂.

В процессе перехода элемент dV получает тепло и совершает работу.

Совершаемая работа связана с изменением объема и перемещением и представляет собой работу проталкивания. Тепло поступает извне – q_MdM и выделяется в результате трения (q_TdM). Изменение энергии элемента dV складывается из изменения кинетической, потенциальной и внутренней энергии (см. соответствующие выражения выше).

На основании первого начала термодинамики тепло, полученное газом, минус совершенная им работа равна приращению энергии газа. Обозначив символом А тепловой эквивалент работы в пересчете на единицу массы получим:

Вычтем из левой и правой части полученного выражения уравнение, характеризующее изменение энтальпии (i₂-i₁)=U₂-U₁+A(p₂v₂^*-p₁v₁^*).

Произведя сокращения и перенеся некоторые слагаемые в правую часть, получим уравнение энергии движущегося газа:

После ряда подстановок и преобразований из этого уравнения получаем уравнение энергии в механической форме, известное как уравнение Бернулли:

Из гидравлики известно, что работа трения пропорциональна кинетической энергии газа:

Коэффициент пропорциональности ξ называется коэффициентом сопротивления.

Для несжимаемого газа (жидкости)

v^*= 1/ρ=const

и уравнение Бернулли принимает вид:

Если умножить последнее уравнение на ρ, то получим:

Члены полученного уравнения имеют размерность давления и представляют собой соответственно изменение кинетической, потенциальной энергий, работу вытеснения и работу трения, отнесенные к единице объема газа.

В соответствии с этим величину ρw²/2 называют динамическим давлением, величину p – статическим давлением, величину ρg(z₂-z₁) – геометрическим давлением, величину - потерянным давлением.