Нагрев тел с равномерным и неравномерным температурными полями

Теплопроводность называется нестационарной, если температурное поле с течением времени изменяется, т.е. происходит нагрев или охлаждение тела. Основное содержание задач нестационарной теплопроводности – отыскание распределения температуры в твердых телах в заданные моменты времени.

Нагрев тел с равномерным температурным полем.

В практике такие случаи возможны при нагреве хорошо перемешиваемых жидкостей или тонких твердых тел с высоким коэффициентом теплопроводности.

Тепло на поверхность передается конвекцией.

Составим тепловой баланс тела за время dτ. Согласно формуле Ньютона, количество тепла, проходящего через поверхность тела, в результате отдачи окружающей среды составит

dQ*=α∙(tc – t)F∙dτ.

Это тепло пойдет на увеличение энтальпии тела:

di = Mdt = ρ∙Vc∙dt.

Приравнивая dQ* и di,разделив переменные и проинтегрировав от начального момента времени (τ=0), когда t= tн, до момента времени τ, получаем:

α∙(tc – t)F∙dτ = ρ∙Vc∙dt = Мc∙dt.

dτ = Мc∙dt/ α∙F(tc – t).

τ t

∫ dτ = (Мc/α∙F)∫ dt/(tc – t).

0. tн

τ = Мc/αF ∙ ln (tc – tн /tc – t).

Это уравнение позволяет рассчитать время, необходимое для нагрева тела от tc до t.

Тепло на поверхность передается излучением.

Задача аналогична предыдущей, но для расчета тепла dQ*, проходящего через поверхность тела за время dτ, вместо формулы Q=αF∙(tc – t) применим формулу

Q12 = τпр ((T1²)²– (T2²)²)F.

Из условия dQ*=di имеем:

τпр((Tс²)²– (T²)²)F∙dτ = Мс∙dT.

Принимаем: Т1 = Тс ,Т2 = Т.

Разделив переменные и проинтегрировав данное уравнение, получаем:

τ T

∫dτ = Мс/τпр F ∙ ∫ dT/((Tс²)²– (T²)²)

0 Tн

τ = Мс/τпр F ∙ 1/Тс³[(ln 1+T/Tc+2 arctg T ) – (ln 1+T/Tc+ 2arctg Tн )]

1–T/Tc Tc 1–T/Tc Tc

Это выражение называется формулой Старка–Семикина. В этой формуле члены в круглых скобках представляют собой одинаковые функции отношения температур, поэтому ее можно записать так:

τ = Мс/τпр F ∙ 1/Тс³∙[ψ(T/Tc) – ψ(Tн/Tc)]

Значение функции ψ можно найти из приводимых в литературе графиков. При заданном времени нагрева из формулы Старка–Семикина во втором её варианте можно вычислить значение ψ(Tн/Tc), и с помощью графика найти значение T/Tc, а следовательно, и температуру Т, которую будет иметь тело через время τ после начала нагрева.

Нагрев тел с неравномерным температурным полем.

Температурное поле при нагреве и охлаждение часто бывает неравномерным. Если поместить стальной слиток в печь, то сначала температура его наружных слоев будет повышаться быстрее, а внутренних медленнее. Затем температура постепенно выравнивается, и по всему сечению устанавливается одинаковая температура, равная температуре печи.

Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Температурное поле в слитке, являющееся функцией времени и координат, описывается дифференциальным уравнением Фурье-Кирхгофа (см. прошлую лекцию).

Так как в твердых телах конвективный теплообмен отсутствует Wx=Wy=Wz=0 и уравнение принимает вид:

∂t/∂τ = λ/ρ∙c(∂²t/∂x²+∂²t/∂y²+∂²t/∂z²).

Величина λ/ρ∙c = а называется коэффициентом температуропроводности и характеризует теплоинерционные свойства тела: чем выше λ, тем быстрее повышается температура тела при нагреве; чем больше объемная теплоемкость(ρ∙c) – тем медленнее.

Чтобы найти температурное поле в любой момент времени, т.е. чтобы решить уравнение Фурье – Кирхгофа, надо знать распределение температур в начальный момент(начальное условие), геометрическую форму тела и закон теплового взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела(граничное условие). Совокупность начального и граничного условий называется краевыми условиями.

Граничные условия можно сформулировать различными способами. Целесообразность того или другого способа определяется конкретными условиями нагрева или охлаждения.

Аналитическое решение уравнения Фурье – Кирхгофа даже при простейших краевых условиях весьма сложно, поэтому при технических расчетах пользуются специальными графиками и таблицами. Чтобы сократить число величин, описывающих нагрев, их группируют в безразмерные комплексы, пользуясь методами теории подобия.

Один из частых случаев нагрева тел с неравномерным температурным полем является нагрев при постоянной температуре поверхности. Задание температуры поверхности тела в функции времени и координат называется граничным условием первого рода. Рассмотрим случай, для которого имеется аналитическое решение: бесконечная пластина, у которой в начальный момент времени поле температур равномерное; температура на наружных поверхностях мгновенно поднимается до одинаковой величины tn и в дальнейшем остается постоянной.

Нагрев пластины продолжается так, как показано на рисунке 26. рис.1.42 стр.95 Температура центра пластины в начале нагрева поднимается медленно, затем быстрее и по мере выравнивания температуры замедляется снова. Как видно из правой части рисунка, температурный градиент на поверхности пластины с течением времени уменьшается, поэтому тепловой поток, проходящий через поверхность, также уменьшается.

Рис. 26

На практике такой случай можно осуществить, если холодную пластину из мало теплопроводного материала погрузить в кипящую воду – температура поверхности быстро станет равной температуре среды.

Сформулируем условие задачи. В бесконечной пластине температура изменяется только вдоль оси Х. Для сокращения записи примем за начало отсчета температур температуру поверхности tn, тогда всякая температура будет выражаться как θ = t – tn. Уравнение Фурье примет вид:

∂θ/∂τ = а∙∂²θ/∂х²

начальное условие запишется как τ = 0, t = tn или θ = θн

граничное условие: х = ±S; t = tn или θ = 0.

Решается задача в виде зависимости безразмерной температуры от безразмерных времени и координаты. Для этого приведем уравнение Фурье, начальные и граничные условия к безразмерному виду, для чего сначала выпишем масштабные преобразования входящих в них величин:

(*)

Введя масштабные преобразования в уравнение Фурье и краевые условия, получим:

1)

2)

, то есть

чтобы наше уравнение стало безразмерным, необходимо выполнить условие:

Поэтому из четырех масштабов ( ) три можно выбрать произвольно: , а один определить из уравнения связи:

Подставляя значения масштабов в систему равенств (*), получим следующие значения безразмерных величин:

Уравнения Фурье и краевые условия принимают теперь такой вид:

(начальные)

(граничные)

Следовательно, решение можно представить в виде зависимости безразмерной температуры от безразмерного времени координаты. Так как безразмерное время Т обычно называют критерием Фурье F0, то

Решение уравнений для тел другой формы носит аналогичный характер. В технических задачах чаще всего представляет интерес температура в центре тела