Теплопередача через плоскую стенку

Теплопроводность называется стационарной, если температурное поле не изменяется с течением времени, т. е. тело не нагревается и не остывает. Содержание задач стационарной теплопроводности сводится к отысканию распределения температур и тепловых потоков в твёрдых телах.

Теплопередача через плоскую стенку.

Однослойная стенка.

Рассмотрим стенку, размеры которой значительно больше толщины S. Разрез стенки показан на рис. 23. Площадь, через которую проходит тепловой поток, постоянна; коэффициент теплопроводности стенки тоже постоянный. Температура t1 и t2 на наружных поверхностях известны и постоянны. Требуется найти тепловой поток и распределение температур в стенке.

Рис. 23

Т. к. разность температур наблюдается только в направлении оси х, тепловой поток также направлен вдоль оси х. Возьмём произвольное сечение а, параллельное наружным поверхностям. Тепловой поток, проходящий через левую поверхность и сечение а, не должен меняться, т. к. в противном случае количество тепла между этими поверхностями изменится, что приведёт к изменению температуры и нарушению стационарности. Поскольку координата сечения а была произвольной, тепловой поток вдоль оси х постоянен.

Применяя закон Фурье, получим:

∂t/∂x = - Q/λF=const (∂t/∂x=grad t).

т. е. температура в стенке распределяется по прямой. Величину теплового потока найдём, разделив переменные и интегрируя получим уравнение:

2 2

∫dt = - Q/ λF∫dx; (t2-t1) = - Q/λF(x2-x1).

1 1

Обозначим х2 – х1 = S; тогда после умножения обеих частей уравнения на (-1) окончательно получаем:

Q= ((t2-t1)/S) λF.

Величина S/λF = R называется тепловым сопротивлением (часто тепловым сопротивлением называют величину S/λ). Размерность R [град/Вт] говорит о том, что это разность температур, необходимая для того, чтобы обеспечить прохождение через данную поверхность теплового потока в 1Ватт. Используя понятие теплового сопротивления, перепишем нашу формулу в виде:

Q=(t1 – t2)R.

При выводе этой формулы мы приняли, что λ= сonst. Однако, λ обычно является функцией температуры. Поэтому dt/dx ≠ const,и температура в стенке изменяется по кривой. Уточненную формулу для расчета теплового потока можно получить, если в уравнение подставить λ=ψ(t).Зависимость λ от t обычно принимают линейкой:

λ=λ0(1+bt)

В большинстве технических расчетов предпочитают пользоваться более простой формулой, полагая λ=0,5(λ1+ λ2).

Многослойная стенка.

Рассмотрим стенку, состоящую из нескольких, например трех, слоев, прилегающих друг к другу с идеальным термическим контактом, так, что температура соприкасающихся поверхностей одинакова (рис.24). Температуры t1 и t4 постоянны и известны. Требуется определить тепловой поток и распределение температур в стенке.

Рис. 24

Рассуждая так же, как и в случае однослойной стенки, приходим к выводу о том, что тепловой поток направлен вдоль оси х и постоянен. Находя по формуле

Q=(tc – t1)/R разности температур для отдельных слоев, получаем:

t1 – t2 = QR12

t2 – t3 = QR23 (*)

t3 – t4 = QR34

Сложив полученные уравнения, получим:

t1 – t4 = Q(R12+R23+R34),

откуда, учитывая, что R = S/λF, находим:

Q = t1 – t4/(R12+R23+R34) = (t1 – t4)F/(S12/λ12+S23/λ23+S34/λ34).

Температуры t2 и t3 находим из полученной нами системы уравнений(*).

Так как при λ=const в пределах каждого слоя температура изменяется по прямой, для стенки в целом распределение температуры представляет собой ломаную линию. Перепады температур в слоях, согласно уравнениям (*), пропорциональны их тепловым сопротивлениям.

Передача через плоскую стенку от одной среды к другой.

Представим себе двухслойную стенку, слева от которой находится среда 1 с температурой tc1 ,а справа среда 2 с температурой tc2.Коэффициент теплоотдачи от левой среды к стенке равен α1, а от стенки к правой среде α2 (под словом «среде» можно понимать газ и жидкость). Температуры сред и коэффициенты теплопередачи постоянны и известны. Требуется определить тепловой поток и температуры на наружной и внутренней поверхностях стенки.

Рис 25

Тепловые потоки от среды 1 к стенке и от стенки к среде 2 одинаковы, в противном случае количество тепла в стенке будет изменяться и режим будет нестационарным.

Находя перепады температур на отдельных тепловых сопротивлениях по формулам Rc = 1/ α∙F (для внешнего теплового сопротивления) и R =S/λF (для теплового сопротивления стенки), получаем:

tc1 – t1 = QRc1

t1 – t2 = QR12

t2 – t3 = QR23

t3 – tc2 = QRc2

Сложив все уравнения полученной системы, находим:

tc1 – tc2 = Q(Rс1+R12+R23+Rc2),

откуда с учетом определений R и Rс

Q = (tc1 – tc2 )F/(1/αс1+S12/ λ12+S23/λ23+Sc2/λc2) = rF(tc1 – tc2).

Величина r = 1/1/αс1+S12/ λ12+S23/λ23+Sc2/λc2.

называется коэффициентом теплоотдачи. Размерность r такая же, как у α[Вт/м²∙градˉ¹]

Это говорит о том, что это – тепловой поток, передаваемый от одной среды к другой через стенку площадью в 1м² при разности температур сред 1 град.

Часто печи имеют цилиндрическую форму. Тепловой поток через цилиндрическую стенку можно найти, используя закон Фурье и учитывая, что температуры различаются только в радиальном направлении. Отсюда следует, что тепловой поток направлен вдоль радиуса цилиндра. Закон Фурье записывается в виде:

∂t/∂r = –Q/ λF.

Рассчетные формулы при необходимости можно взять из справочника или учебника.