Общие сведения из теории теплопередачи

Энергетическое состояние атомов в курсе «теплопередача» не рассматривается и определяется одной характеристикой – температурой.

Теплопередача – обусловленная разностью температур передача тепла от одного тела к другому или от одних частей тела к другим частям того же тела.

Различают три вида передачи тепла: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение.

Теплопроводность.

Теплопроводность – передача тепла от одних частей тела к другим, обусловленная разностью температур, без заметного перемещения частиц. С физической точки зрения – это передача энергии одних молекул другим.

Передача тепла теплопроводностью наиболее характерно осуществляется в гомогенных твёрдых телах (непрозрачных), а также в газах и жидкостях, но в них, как правило, одновременно действует конвекция и излучение.

Количественной характеристикой того, насколько резко изменяется температура на бесконечно малом участке тела, служит температурный градиент:

grad t=∂t/∂x+∂t/∂y+∂t/∂z.

Это – вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры. Если температурное поле одномерно, то выражение для градиента упрощается:

grad t=dt/dx.

Естественно предположить, что количество тепла, проходящее через какую-либо площадку, нормальную к градиенту, пропорционально градиенту температуры (точки, -grad t), величине площади, времени и некоторому коэффициенту λ, характеризующему физические свойства тела:

Q*=-λ∙F∙τ∙grad t.

Это уравнение является выражением основного закона теплопроводности – закон Фурье (1822 г.).

Закон Фурье можно представить в виде:

Q=Q*/τ=- λ∙F∙grad t или q=Q*\F∙τ=-λ∙grad t.

Величины Q и q называются соответственно тепловым потоком и удельным тепловым потоком, величина λ - коэффициент теплопроводности. Из уравнений ясно, что единица измерения λ = [Дж ⁄сек·м²·(град/м)] = [Вт/м²·(град/м)] = [Вт/м·град], т. е.

это мощность, приходящаяся на площадку в 1м² при градиенте температуры 1 град/м.

Коэффициент теплопроводности металлов высок: 5 – 385 Вт/м·град, коэффициент λ сплавов ниже, чем чистых металлов. С увеличением температуры λ металлов уменьшается. Коэффициенты теплопроводности неметаллов более низкие, чем металлов: 0.15 – 0.19 Вт/м·град. Исключение составляет графит, для которого λ колеблется в пределах 55 - 440 Вт/м·град. С увеличением температуры λ возрастает, однако есть много исключений из этого правила.

Коэффициенты теплопроводностей газов и жидкостей весьма низкие. Коэффициенты теплопроводности газов значительно возрастают с повышением температуры. Коэффициенты теплопроводности жидкостей с повышением температуры убывают (исключение – глицерин и вода).

Величины λ пористых и волокнистых тел низки, т. к. пустоты заполнены малотеплопроводным воздухом. Коэффициент теплопроводности пористых материалов возрастает при увлажнении и при повышении температуры. При 400 - 600ºС повышению λ способствует тепловое излучение в порах.

Конвективный теплообмен.

Конвективным называется такой процесс, когда движущаяся жидкость или газ механически переносят тепло из более нагретых областей в менее нагретые. В технике чаще всего рассматривают конвективный теплообмен жидкости или газа с поверхности твёрдых тел, при котором тепло транспортируется к поверхности (или от неё) движущимися объёмами жидкости или газа.

Для расчёта теплового потока от поверхности твёрдого тела к жидкости (или наоборот) Ньютон в 1701 году предложил формулу, носящую его имя:

Q = α∙F∙(tc - t).

Размерность α - Вт/м²·град, т. е. это тепловой поток, передаваемый на 1 м² поверхности при разности температур поверхность – жидкость 1 град. Сначала полагали, что коэффициент α, называемый коэффициентом теплообмена или коэффициентом теплопередачи, так же, как и λ, характеризует физические свойства жидкости. Впоследствии оказалось, что α существенно зависит от ряда факторов, связанных не только с физическими свойствами среды. Основная трудность расчёта состоит в определении α.

Величину 1/α F называют внешним тепловым сопротивлением, поэтому формулу можно представить в виде:

Q = (tc - t)/Rc

Уравнение Фурье – Кирхгоффа.

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее температурное поле в движущейся жидкости, физические свойства которой постоянны.

Выделим в движущейся жидкости элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz, параллельными координатным осям. На рисунке 22 показано сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной осям х и z.

рис1.35 стр 83

Стрелками показаны х-компоненты скорости; кривая показывает распределение температуры в потоке. Составим тепловой баланс параллелепипеда вдоль оси х за время dτ. Через левую грань тепло передаётся теплопроводностью:

Q = -λ·F·τ·grad t = - λ·(∂t/∂x)·dy·dz·dτ (1), где

dy·dz = F

и вносится потоком жидкости (конвекцией):

ρ·c·wx·t·dy·dz·dτ (2), где

с – удельная теплоёмкость [Дж/кг∙град]

ρ·wx·dy·dz – массовый расход жидкости через левую грань, через правую грань проходит в результате теплопроводности:

-λ·∂/∂x(t + ∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ (3)

и конвекции:

ρc(Wx+∂Wx/∂x∙dx)(t+∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ (4)

Баланс тепла вдоль оси х получим, сложив выражения (1) и (2) и вычтя из них выражения (3) и (4), после преобразования получим:

dQx*=[λ∙∂²t/∂x²-ρc(Wx∙∂t/∂x+t∙∂Wx/∂x)]dV∙dτ.

Выражение теплового баланса для осей y и z будут аналогичными. Сумма тепловых балансов вдоль всех трёх осей даёт приращение энтальпии элементарного параллелепипеда жидкости за время dτ:

dQx*+dQy*+dQz*=d=ρ∙d∙V∙c∙dt.

Подставив в это выражение значения dQx*, dQy* и dQz*, получим:

{λ∙(∂²t/∂x²+∂²t/∂y²+∂²t/∂z²)-ρc[(Wx∙∂t/∂x+Wy∙∂t/∂y+Wz∙∂t/∂z) +

t∙(∂Wx/∂x+∂Wy/∂y+∂Wz/∂z)]}dV∙dτ=ρ∙c∙dV∙dt.

dQ*= - λ∙∂t/∂x∙dy∙dz∙dτ + c∙ρ∙Wx∙t∙dy∙dz∙dτ + λ∙∂/∂x(t+∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ –

ρ∙c(Wx+∂Wx/∂x∙dx)∙(t+∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ.

Сначала преобразуем последнее слагаемое:

ρ∙c(Wx + ∂Wx/∂x∙dx)∙(t + ∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ=

(ρ∙c∙Wx + ρ∙c∙∂Wx/∂x∙dx)∙(t∙dy∙dz∙dτ + ∂t/∂x∙dx∙dy∙dz∙dτ)=

ρ∙c∙Wx∙t∙dy∙dz∙dτ + ρ∙c∙∂Wx/∂x∙dx∙t∙dy∙dz∙dτ + ρ∙c∙Wx∙∂t/∂x∙dx∙dy∙dz∙dτ +

ρ∙c∙∂Wx/∂x∙dx²∙dy∙dz∙dτ;

dQ*= - λ∙∂t/∂x∙dy∙dz∙dτ + ρ∙c∙Wx∙t∙dy∙dz∙dτ + λ∙∂/∂x(t+∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ –

ρ∙c∙Wx∙t∙dy∙dz∙dτ – ρ∙c∙∂Wx/∂x∙dx∙t∙dy∙dz∙dτ – ρ∙c∙Wx∙∂t/∂x∙dx∙dy∙dz∙dτ –

ρ∙c∙∂Wx/∂x∙dx²∙dy∙dz∙dτ= [λ∙∂/∂x(t+∂t/∂x∙dx)dy∙dz∙dτ – λ∙∂t/∂x∙dy∙dz∙dτ ]dx/dx –

ρ∙c∙∂Wx/∂x∙t∙dV∙dτ – ρ∙c∙Wx∙∂t/∂x∙dV∙dτ – ρ∙c∙∂Wx/∂x∙dV∙dx∙dτ∙∂t/∂x =

[(λ∙∂/∂x(t+∂t/∂x∙dx) – λ∙∂t/∂x)/dx]∙dV∙dτ – ρ∙c∙dV∙dτ(∂Wx/∂x∙t + Wx∙∂t/∂x)=

[λ∙∂²t/∂x² – ρ∙c(∂Wx/∂x∙t + Wx∙∂t/∂x)]∙dV∙dτ.

Т. к. для несжимаемой жидкости

∂Wx/∂x+∂Wy/∂y+∂Wz/∂z=0 (уравнение сплошности),

получим окончательное уравнение Фурье-Кирхгофа:

∂t/∂τ + Wx∙∂t/∂x + Wy∙∂t/∂y + Wz∙∂t/∂z = λ/ρ∙c(∂²t/∂x²+∂²t/∂y²+∂²t/∂z²).

Как видно, полное изменение температуры (полная производная Dt/dτ) складывается из локальной ∂t/∂τ и конвективной ( Wx∙∂t/∂x + Wy∙∂t/∂y + Wz∙∂t/∂z) частей. Уравнение Фурье-Кирхгофа часто приводят в сокращённом виде:

Dt/dτ = а▼²t

Тепловое излучение

Передача тепла излучением принципиально отличается от передачи тепла вследствие теплопроводности и конвекции. В двух ранее рассмотренных случаях переход тепла связан с передачей тепла молекулами, образующими твёрдую, жидкую и газообразную среду. Тепловое излучение, проходящее через какую-либо область пространства, совершенно не зависит от температуры окружающей среды. Пример – передача тепла от солнца к земле. Согласно закону Стефана-Больцмана при данной температуре максимальный тепловой поток испускает абсолютно чёрное тело (АЧТ):

Q = Fτ0T0ⁿ, где

n=4,

F – площадь поверхности теплообмена,

τ0 – коэффициент излучения АЧТ [Вт/м²∙(К²)²]

Этот закон распространяется и на реальные тела.

При лучистом теплообмене двух тел они одновременно облучают друг друга с интенсивностью, пропорциональной четвёртым степеням их температур. Результирующий тепловой поток уходит через поверхность того тела, температура которого ниже. Результирующий тепловой поток с одного тела на другое обычно выражают такой формулой:

Q12 = σпр ((T1²)²– (T2²)²)F, где

F – взаимная поверхность излучения

σпр – приведённый коэффициент излучения.

Аналогичного вида получаются формулы при лучистом теплообмене с газами.