Гидродинамическое подобие

Гидродинамическое подобие

Постановка задачи.

Как известно, в промышленных печах наиболее распространено струйное движение газа. Учёт явлений горения и теплообмена очень усложнил бы моделирование, поэтому широкое распространение получило моделирование изотермического движения газа. В этом случае считают второстепенным процессы горения, теплообмена и негерметичность печи, полагают плотность и вязкость газа неизменными. Газ рассматривается как несжимаемая жидкость с постоянными физическими свойствами, движущуюся в закрытом русле.

Указанный случай движения описывается следующими дифференциальными уравнениями:

уравнения Навье-Стокса (1)

(2) Уравнение сплошности

В этих уравнениях и являются функциями, x,y, и z – аргументы, и - параметры. Чтобы искомые функции были определены в каждой точке системы, необходимо добавить граничные условия – выражения, описывающие распределение скорости и давления на границах рассматриваемой области (в нашем случае – на внутренних контурах рабочего пространства).

Многочисленными опытами установлено, что распределение давления в закрытом русле (в трубе) определяется главным образом скоростью и не зависит от абсолютного значения давлений. Кроме того, высокой точности при измерении не требуется. Поэтому давление в граничные условия не вводят, а задают лишь распределение скоростей на границах. Это можно сделать, описав геометрию границ:

(3)

И задав скорости в достаточно большом числе точек, расположенных на границах:

(4)

Несмотря на упрощения, проинтегрировать уравнения Навье-Стокса со сформулированными нами граничными условиями невыполнимо даже для геометрически простых печей. Поэтому если прямые измерения на образце трудно осуществимы или невозможны ( необходимы для проектирования пока не существующего образца), прибегают к моделированию.

Приведение уравнения к безразмерному виду.

Из всего сказанного выше следует, что дифференцируемые уравнения и граничные условия, описывающие изотермическое движение газа в печи, следует привести к безразмерному виду, т.е. установить такие масштабы для измерения всех величин, чтобы результаты измерений были безразмерными.

Учитывая, что уравнения и граничные условия для образца и модели совершенно одинакового вида, все выкладки произведем только для образца. Кроме того, т.к. уравнения (1) и (4) для всех координатных осей однотипны, будем далее пользоваться зависимостями только для оси х.

Используя метод масштабных преобразований Эйгенсона, выпишем масштабные преобразования для величин, входящих в уравнения (1) и (4), не выбирая пока конкретных значений масштабов:

(5)

Введем масштабные преобразования в уравнение (1): сначала преобразуем левую часть:

Получаем

Преобразование правой части:

Учитывая, что , имеем:

Далее вспоминаем, что , a (*)

(*) В нашем случае

Следовательно,

Тогда второе слагаемое правой части превращается в выражение

Окончательно получаем:

(6)

Это уравнение является размерным, т.к. в него входят комплексы, состоящие из размерных масштабов. Эти комплексы сократятся, если будут равны:

(7)

Уравнения типа (7) называются уравнениями связи между масштабами или просто уравнениями связи.

Равенство (5) содержит пять различных масштабов, значения которых предстоит конкретизировать. Два из них необходимо выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнения связи. Остальные можно выбрать любыми, лишь бы они были существенны для данного физического процесса.

В качестве произвольных масштабов возьмем следующие:

Подставив эти масштабы в уравнения (7), получим значения остальных двух масштабов:

Теперь значения всех пяти масштабов подставляем в масштабные преобразования (5) и получим следующие значения безразмерных величин:

(8)

Безразмерные величины носят названия тех размерных величин, из которых они образовались. Например, L-безразмерная длина, P – безразмерное давление и т.д.

Теперь наши уравнения 1-4 можно представить в безразмерном виде. Покажем сначала, что мы можем теперь сократить комплексы, составленные из разных масштабов в уравнении (6).

аналогично

;

Учитывая, что N=1 и R=1 получаем окончательно:

(9)

(10)

(11)

(12)

Уравнения 9-10 и граничные условия (11) и (12) в соответствии с π-теоремой содержат на три параметра меньше, чем исходные выражения (отсутствуют N, R и L₁).

Аналогичные результаты были бы получены и на модели, в качестве которой мы используем движение жидкости в закрытом русле. Так как безразмерные для модели точно такой же структуры, выписывать их не будем. Далее все величины для модели будем помечать штрихами.

Условия подобия

Сформулируем требования, предъявляемые к модели. Из величин, входящих в уравнения (9)-(12) и P являются функциями, X, Y и Z – аргументами, а – параметры. Как уже говорилось, для моделирования необходимо, чтобы уравнения модели и образца были тождественны. Но для тождественности уравнений необходимо равенство входящих в них соответствующих параметров:

(13)

(14)

Подставляя в равенство (13) величины из выражений (8) получим:

отсюда

и т.д.

Следовательно, (15)

Число линейных параметров в уравнении (3) не ограничивалось. Но если сколь угодно большое число линейных параметров одной системы отличается в одно и то же число раз от соответствующих параметров другой системы, то системы эти геометрически подобны. Следовательно, условие (13) означает, что если в качестве модели выбрать процесс одинаковой физической природы с процессом в образце, то границы модели должны быть геометрически подобны границам образца.

Если преобразования (13) и (14) будут соблюдены, то при одинаковых значениях безразмерных аргументов:

, в сходственных точках образца и модели безразмерные функции – скорости и давления – будут равны (на то, что точки сходственные указывает индекс «1»).

(16)

Измерив на модели, мы тем самым, определим искомые функции для образца. Подставляя в равенство (16) значения безразмерных скоростей и давлений из выражения (8) и учитывая, что ρ и ν постоянны во всех точках образца и модели путем алгебраических преобразований получим:

(17)

(18)

Постоянные называют множителями подобия и показывают, во сколько раз величины модели отличаются от соответствующих величин в образце ( ).

Если какая-либо скалярная величина в сходственных точках модели и образца отличаются в одно и то же число раз, то такое распределение ϕ называется подобным. В данном случае распределение давлений в модели и образце подобно.

Для векторной величины, например скорости, распределенные в образце и модели называется подобным, если в сходственных точках скорости отличаются в одно и то же число раз ( ) и имеют одинаковое направление. Из равенства (17) следует, что

и т.д., т.е. что в сходственных точках (1,2, … n) образца и модели скорости направлены одинаково. Из тех же равенств очевидно, что в сходственных точках образца и модели скорости отличаются в раз. Теперь можно дать определение физического подобия:

если два физических явления протекают в геометрических подобных областях, в которых одноименные величины распределены подобно, то эти явления называются подобными.

Очевидно, что движение в образце и модели в нашем случае удовлетворяет этому определению, т.е. является подобным. Подобие означает, что общая картина движения в модели не отличается от картины движения в образце и лишь копирует его в измененном масштабе.

Приведенный анализ условий подобия для частного случая гидродинамической задачи позволяет сделать вывод, который составляет содержание третьей теоремы подобия:

«Если безразмерные уравнения и краевые условия, описывающие некоторые физические явления, тождественны, то явления эти подобны» (справедливо и обратное утверждение. Оно составляет содержание первой теоремы подобия). Третья теорема была доказана Киржачевым и Гухманом.

Из изложенного следует, что при моделировании уравнения применяют только для нахождения вида безразмерных величин. Характер математической связи между ними не используется. Поэтому уравнения (9)-(12) можно заменить в данном случае равноценными выражениями:

(19)

Любую из величин, входящих в уравнение (19) можно умножить на произвольную степенную функцию остальных. При этом вид функциональной зависимости ( ) изменится, но он не представляет практического интереса. Например, вместо безразмерного давления P можно использовать другую безразмерную величину

Таким образом, безразмерные величины, полученные из уравнений, если требуется, можно преобразовывать к виду более удобному для исследования. При этом число критериев, характеризующих явление, не должно изменяться.

Многим безразмерным величинам присваивают имена известных ученых, работавших в данной области науки. В этом случае их обозначают первыми двумя буквами фамилии ученого. Так, безразмерные скорости U и W называют критериями Рейнольдса Re=wl/ν , а безразмерное давление называют критерием Эйлера (Euler):

Следует отметить, что если точно известно, какие величины существенно влияют на данный процесс, безразмерные величины, входящие в выражение (19), могут быть получены без знания исходных уравнений (1)-(4), а только путем анализа их размерностей.