Моделирование. Общие понятия и сущность процесса

Моделирование физических явлений есть метод решения описывающих их уравнений экспериментальным путём. В ряде случаев моделирование можно осуществить, не зная характера математической связи между этими явлениями.

Моделирование как научно-обоснованный метод широко распространен в технике, в том числе и в металлургии. В развитии этого метода выдающаяся роль принадлежит отечественным ученым – Кирпичёву, Гухману, Эйгенсону, Иванцову и др.

Общие понятия

В уравнениях следует различать три вида величин: аргументы - независимые величины, функции – зависимые переменные и параметры – постоянные величины. Например, в уравнении у – функция, х – аргумент, а и b – параметры. В физических уравнениях аргументами обычно являются координаты и время.

Уравнения называются тождественными, если структура их одинакова, асоответственные параметры равны. Например, уравнения и одинаковы по структуре. Тождественными они будут при а=с и b=d. Очевидно, что в этом случае при равных значениях аргументов (x=t) функции будут иметь одинаковые значения (y=s).

Приведенные определения справедливы также для систем дифференциальных уравнений, которые могут включать несколько функций и аргументов.

Размерные и безразмерные величины

Чтобы измерить какой-нибудь линейный размер l, выбирают масштаб (единицу измерения), с длиной которого сравнивают измеряемую длину. Таким образом, результат измерения равен частному от деления измеряемой длины на длину масштаба. Чтобы иметь возможность сравнивать измеряемые величины, пользуются ограниченным числом масштабов, например, длину измеряют в метрах и т.д.

Пусть на измеряемой длине l-метровая линейка укладывается 5 раз. Тогда результат измерения будет или . Знак умножения обычно опускают и говорят, что «длина равно пяти метрам». Цифра пять считается размерной, а её размерность – метр – является обозначением масштаба, с помощью которого производится измерение. В буквенных выражениях размерность обычно не указывают.

В принципе, можно было бы установить таким образом независимые единицы измерения для всех физических величин, однако принята абсолютная система единиц, предложенная К.Ф.Гауссом. В 1832 году Гаусс показал, что для физических измерений достаточно принять три независимые единицы, называемые основными: длины, массы и времени. Все остальные называются производными, их можно определить из физических уравнений как функции трёх основных.

Пусть, например, ускорение определяется из выражения:

Чтобы определить его размерность х, пока неизвестную, введем в уравнение размерности основных величин:

Разделив уравнения д друг на друга, получим размерность ускорения:

Из трёх величин, входящих в выражение , любые две являются независимыми, тогда как одна – зависимая, так как является функцией остальных. Вообще, если среди величин, входящих в физическое уравнение, можно выделить группу, размерность каждого члена которой не может быть получена как степенная функция остальных, то это – группа величин с независимыми размерностями (в данном случае единица длины «метр» не может быть получена из единицы времени «секунда»).

Однако для измерения физических величин можно применять не только эталонные масштабы. Часто в качестве масштабов выбирают какие-либо одноименные (т.е. имеющие ту же размерность) параметры. Результат измерения в этом случае получается безразмерным. Например, для измерения ускорений можно использовать какое-либо постоянное ускорение, например g. Тогда результат измерения получится безразмерным:

Итак, измерение какой-либо величины φ с помощью одноименного масштаба φ₀ дает безразмерный результат Ф: , откуда размерную величину φ можно выразить следующим образом:

Соотношения подобного типа Эйгенсон назвал масштабными преобразованиями. Будем обозначать масштабы индексами «0», а безразмерные результаты измерения – заглавными буквами.

Сущность моделирования

Представим физический процесс, который однозначно описывается известным нам уравнением или системой уравнений. Требуется найти некоторые функции, входящие в уравнение, но решение последнего представляет непреодолимые математические трудности. Воспроизвести процесс и найти интересующие нас величины путем измерений также невозможно (неудобные размеры объекта и время протекания процесса, недоступность, ограниченность в средствах и т.д.).

Для решения такой задачи можно подобрать другой, легко осуществимый физический процесс (модель), который описывается уравнениями, тождественными уравнениям образца, воспроизвести его и путем прямых измерений определить значения интересующих нас функций. В общем случае процессы в образце и модели могут быть разной физической природы.

Пример.

Количество электричества, проходящее в единицу времени по проводнику, определяется законом Ома: i=ΔUf₀/r₀l₀, где

∆U – разность потенциалов

r₀ – удельное электросопротивление

f₀ , – сечение и длина проводника

Представим себе, что определить из приведенного уравнения невозможно, и воспроизвести процесс протекания тока по каким-то причинам очень трудно.

В качестве модели выбираем процесс ламинарного течения жидкости в трубе. Как известно из гидродинамики, этот процесс описывается уравнением Гагена-Пуазейля: v=Δpf_г/r_гl_г

В соответствии с вышеизложенным, чтобы определить при заданных значениях остальных величин, можно взять участок трубы длиной l_г=l₀ и сечением f_г=f₀, выбрав жидкость с такой вязкостью, чтобы r_г=r₀ , пропустить эту жидкость через трубу, обеспечив на участке перепад давлений и измерить количество воды v, проходящей через трубу в единицу времени. Этим мы определим искомую функцию i, т.к. в силу тождественности уравнений i = v. Процессы, рассмотренные в этом примере, очень просты и не требуют моделирования. Однако в более сложных случаях такой подход мог быть полезным, если бы не два существенных недостатка:

1. Необходимо соблюдать равенство большого числа величин в образце и модели, что обычно очень сложно.

2. В качестве модели нельзя использовать процесс одинаковой физической природы с образцом – мы должны будем изготовить модель, которая в точности будет копировать образец, а это бессмысленно. В то же время, изготовление модели в уменьшенном масштабе и одной физической природы с образцом бывает очень полезно.

Указанные недостатки моделирования можно устранить, если уравнения, описывающие процесс, привести к безразмерному виду. Согласно второй теореме подобия (π-теорема), «Всякое уравнение (или система уравнений), связывающие между собой N физических величин, среди которых К величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к уравнению, связывающему N-K безразмерных комплексов и симплексов, составленных из этих величин».

Симплексом называют отношение величин с одинаковыми размерностями.

Комплексом – отношение, включающее несколько величин с разными размерностями.

Пользуясь безразмерными уравнениями можно осуществить более рациональное моделирование. Рассмотрим технику приведения физических уравнений к безразмерному виду на примере гидродинамического подобия.