Вопрос 30

Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim x 0 y = 0,

где  y = f(a+ x)-f(a).

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

|sin x-sin a| = 2|cos((x+a)/2)sin ((x-a)/2)| 2|sin((x-a)/2)|  |x-a|/2 = |x-a|<,

как только |x-a|<.

Пример 21. Любая последовательность f:N R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.

Точки разрыва

Пример 22. Исследовать на непрерывность

f(x) =

 x+1, если x 0



 x-1, если x<0.

(рис. 17)

По графику видно, что функция не является непрерывной в точке x = 0. Существуют односторонние пределы функции справа и слева в точке x = 0, которые не равны limx -0f(x) = -1 и limx +0f(x) = 1. То есть определение непрерывной функции в точке не выполнено и точка x = 0 - точка разрыва функции.

Метод Симпсона Далее рассмотрим наиболее часто применяемую на практике формулу Симпсона, которую еще называют правилом "три восьмых". Геометрическая интерпретация метода Симпсона Соотношение также показывает, что формула Симпсона является точной для полиномов второй степени

Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Из непрерывности самой функции в точке x₀не следует дифференцируемость ее в этой точке.

Покажем, что функция y = x² дифференциируема в точке x = 2:

Δy=(2+Δx)² - 4 = 4 + 4Δx +(Δx)² - 4 = 4Δx + Δx•Δx.

Таким образом: А = 4; α(Δx) = Δx

Вопрос 31

Теорема 14.7. (Лагранжа). Если функция Непрерывна на отрезке И

. дифференцируема в интервале , то существует такая точка Что

Следствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная в этом промежутке.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором промежутке, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.

Корнем (или нулем) функции Называется такое значение

Ее аргумента, при котором эта функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось Или касается ее.

Теорема 14.8. (Ролля). Между двумя различными корнями дифференцируемой функции содержится по меньшей мере один корень ее производной.

Замечание 1. Теорема имеет простую геометрическую интерпретацию: между значениями И Имеется по меньшей мере одно значение Такое, что в точке Графика функции касательная к