Вопрос 26 непрерывность функции в точке и на множестве

Определение 1 Функция yfx=() называется непрерывной в точке x0, если выполняются следующие три условия :

1) функция определена в точке , т.е. yfx=()x0x0∈Df().

2) существует lim()xxfx→0

3) lim()()xxfxfx→=00

Если в точке нарушено хотя бы одно из условий то функция называется разрывной в точке , а точка называется x0x0x0 точкой разрыва

Определение 2 Функция называется yfx=()непрерывной в точке x0, если

∀>∃>∀−<⇒−<εδδ0000 :()xxxfxfx

Так как xxx−=0Δ-приращение аргумента, а fxfxy()()−=0Δ-приращение функции в точке то x0

функция непрерывна в точке , если для yfx=()x0∀>∃>εδ00 ΔΔxy<⇒<δε т.е. Δпри . y→0Δx→0 x000xy0)(lim0xfxfxx=→f(x)0 58

Определение 3 Функция yfx=() называется непрерывной в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

limΔΔxy→=00

Определение 4 Функцияyfx=(), непрерывная во всех точках множества Х, называется непрерывной на этом множестве

Точки разрыва функции и их классификация

Если хотя бы одно из условий определения 1 не выполнено, то точка , является точкой разрыва. Различают следующие случаи : x0

1) Существует , но или lim()xxfx→0x0∉Df()или , то точка называется lim()()xxfxfx→≠00x0точкой устранимого разрыва. 2) Не существует , но существуют два конечных односторонних предела и lim()xxfx→0lim()()xxfxfx→−=−000lim()()xxfxfx→+=+000, которые не равны между собой, то точка называется x0точкой разрыва первого рода, а разность fxfx()()+−−00 скачком функции в точке . 3) Если хотя бы один из односторонних пределов обращается в бесконечность или не существует то точка называется x0точкой разрыва второго рода.

Вопрос 27 и 28

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Следствия первого замечательного предела:

1. 

2. 

Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или замену эквивалентных бесконечно малых функций.

Разберем несколько примеров нахождения предела по первому замечательному пределу с подробным оприсанием решения.

Следствия второго замечательного предела (доказать самостоятельно) а) ; в) ; б) ; г) . Замечание. Учитывая формулу замены переменной, можно утверждать, что первый и второй замечательный предел и их следствия остаются верными, если вместо будет стоять любая бесконечно малая функция .

Вопрос 29

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ  ПРОИЗВОДНОЙ 

Задача о скорости движущейся точки.  Пусть s = s (t) представляет закон  прямолинейного движения материальной точки.  

Это уравнение выражает путь s, пройденный  точкой, как функцию времени t.  

Обозначим через Δs путь, пройденный за промежуток времени Δt от момента t до t + Δt , т. е. Δs  = s(t + Δt ) - s (t). Отношение  называется средней скоростью точки за время от t до t + Δt.  

Чем меньше Δt, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δt, тем лучше средняя скорость характеризует  движение точки в момент времени t. Поэтому  естественно ввести понятие скорости v в данный  момент t, определив ее как предел средней  скорости за промежуток отt до t + Δt, когда Δt→ 0:  

Величина v называется мгновенной  скоростью точки в данный момент t.  

Задача о касательной к данной кривой.  

Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести  касательную к данной кривой в данной точке . 

Так как точка касания дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к  положительному направлению оси Ох (рис.). Через точки и проведем секущую  

Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению — , где Угловой коэффициент касательной к  данной кривой в точке можно найти на  основании следующего определения: касательной к кривой в точке называется прямая ,  угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда .  Отсюда следует, что  Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Геометрический? Касательная к функции в точке.... Условие возрастания функции: f ' (x) > 0. Условие убывания функции: f ' (x) < 0. Точка перегиба (необходимое условие): f ' ' (x0) = 0. Выпуклость вверх: f ' ' (x) <0 Выпуклость вниз: f ' ' (x) >0 Уравнение нормали: у=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0) Механический? скорость это производная по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию... Уравнение касательной к графику функции f в точке x0 y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)