Вопрос 24 Основные теоремы о пределах

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (2)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (3)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (4)

Замечание. Формулы (2) и (3) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Предел последовательности

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция

определённая на множестве натуральных чисел.

Число a называется пределом последовательности , если для произвольно малого положительного числа  найдётся такое число N , что для всех членов последовательности, номер которых , выполняется неравенство

Это записывается так:

Символ означает, что nнеограниченно возрастает. Если последовательность имеет предел, то её называют сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Замечание. Для сходящихся последовательностей справедливы все ранее рассмотренные свойства пределов.

Предел функции в бесконечно удалённой точке

Аналогично пределу последовательности определяется предел функции при .

Число aназывается пределом функции f(x) в бесконечно удалённой точке

если для произвольно малого положительного числа  можно найти такое число N , что для всех

выполняется неравенство

Вопрос 25 Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Число A называется пределом функции f(x) при x → x0 (или в точке x0), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x0| < δ, справедливо неравенство |f(x) − A| < ε,   т.е.

lim

x → x0

f(x) = A     ЬЮ     " ε > 0   $ δ > 0 :     0 < |x − x0| < δ Ю |f(x) − A| < ε.

Используем понятие окрестности и учтем, что

0 < |x − x0| < δ ЬЮ x О

·

O

δ (x0 )   и     |f(x) − A| < ε ЬЮ f(x) О Oε (A).

(Точка над символом окрестности указывает, что это проколотая окрестность.)

Теперь определение предела функции в точке можно представить в виде

lim x → x0 f(x) = A     ЬЮ     " ε > 0   $ δ > 0 :     x О · O δ (x0 ) Ю f(x) О Oε (

Односторонние пределы

Пусть функция f(x) определена на интервале (x0, x1).

Число A называется пределом функции f(x) справа, в точке x0 если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых x0 < x < x0 + δ , справедливо неравенство | f(x) − A | < ε, т.е.

lim x → x0 + 0 f(x) = A   ЬЮ   " ε > 0    $ δ > 0 :     x0 < x < x0 + δ   Ю   | f(x) − A | < ε.

Предел функции f(x) в точке x0 справа обозначается символом f(x0 + 0)

Число A называется пределом функции f(x) слева, в точке x1 если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых x1 − δ < x < x1 , справедливо неравенство | f(x) − A | < ε, т.е.

lim x → x1 − 0 f(x) = A   ЬЮ   " ε > 0    $ δ > 0 :     x1 − δ < x < x1   Ю   | f(x) − A | < ε.

Предел функции f(x) в точке x1 слева обозначается символом f(x1 − 0)

Теорема 4. Для того чтобы существовал предел

lim

x → a

f(x) , равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны A оба односторонних предела

lim

x → a − 0

f(x)   и

lim

x → a + 0

f(x) .

Функция f(x) называется ограниченной в точке x0, если существуют число M > 0 и окрестность O(x0), такие что   " x О O(x0)   Ю   | f(x) | < M .

Теорема 5. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 односторонние пределы, то она ограничена в этой точке.

Доказательство приведено в книге Я.С. Бугрова и С.М. Никольского “Дифференциальное и интегральное исчисление”. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Стр. 81.

Функция f(x) называется бесконечно большой при x → x0, если

" M > 0    $ · O (x0) :    " x О · O (x0)     | f(x) | > M.