Вопрос 22
Определение.
Пусть
каждому натуральному числу n
поставлено в соответствие некоторое
единственное действительное число
(при этом разным натуральным числам n
могут соответствовать и одинаковые
действительные числа). В этом случае
на множестве натуральных чисел определена
функция:
,
которая называется числовой
последовательностью или просто
последовательностью.
Последовательность
обозначается:
,
n=1, 2,… или
.
Числа
,
,…
называются членами последовательности
или ее элементами,
–
общим членом последовательности, n
– номером
члена
.
По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов.
Часто
последовательность задается при помощи
формулы:
,
.
В этом случае эта формула называется
формулой общего члена последовательности
{
}.
Например,
=
,
;
Последовательность
может быть задана и другими способами.
Например, если
–
число всех различных делителей числа
n,
то
,
-
последовательность, для которой
=1,
=2,
=2,
=3,
=2,
=4,
=2,…
Для задания последовательностей используют также рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых ее членов и формулу, которая позволяет найти ее n-й член через предшествующие члены. Например,
a
=1,
a
=
+1
при n=1,
2,…;
b
=1,
b
=2,
b
=2b
+b
при n
3.
Определение.
Пусть
даны две числовые последовательности
{a
}
и {b
}.
Суммой, разностью, произведением и
частным этих последовательностей
называются соответственно последовательности
{
}, {
}, {
},
{
};
последнее при условии, b
0,
n=1,
2,…. Произведением последовательности
{a
}
на число k,
называется последовательность {ka
}.
Определение.
Последовательность
{a
}
называется возрастающей (убывающей),
если для любого n
N
справедливо неравенство a
>a
(a
<a
).
Последовательность {a
}
называется неубывающей (невозрастающей),
если для любого n
N
справедливо неравенство a
a
(a
a
).
Определение.
Последовательности
убывающие, возрастающие, неубывающие,
невозрастающие называются монотонными
последовательностями. Например, а)
последовательность a
=n!,
n
N
– возрастающая;
б) последовательность 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7,
8, 9, 9,…- неубывающая; в) последовательность
1,
,
3,
,
5,
,
7,
,…
– немонотонная.
Следует
различать последовательность {a
},
то есть множество элементов a
,
n
N
(оно всегда бесконечно) и множество
значений ее элементов. Например, для
последовательности {(-1)
}
множество значений ее элементов состоит
из двух чисел –1 и 1.
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу).
Определение. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной.
Например, последовательность {(-1) } ограниченная; последовательность {n} – ограничена снизу, но не ограничена сверху, следовательно, она неограниченная.
Наименьшее из чисел, ограничивающих последовательность {a } сверху, называется ее супремумом и обозначается supa , а наибольшее из чисел, ограничивающих последовательность снизу, называется ее инфимумом и обозначается infa .
В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегрального исчислений.
Вопрос 23
Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю
Свойства бесконечно малых последовательностей
Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если
—
бесконечно большая последовательность,
не содержащая нулевых членов, то
существует последовательность 
,
которая является бесконечно малой.
Если же
всё
же содержит нулевые элементы, то
последовательность
всё
равно может быть определена, начиная
с некоторого номера 
,
и всё равно будет бесконечно малой.Если
—
бесконечно малая последовательность,
не содержащая нулевых членов, то
существует последовательность 
,
которая является бесконечно большой.
Если же
всё
же содержит нулевые элементы, то
последовательность
всё
равно может быть определена, начиная
с некоторого номера
,
и всё равно будет бесконечно большой.
Определение:
Последовательность 
называется бесконечно
большой (б/б),
если абсолютные величины всех ее
элементов – начиная с некоторого номера
N
– превышают любое сколь угодно большое
наперед заданное число E > 0.
Другими словами, 
при n > N.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми.
1.
Если функция f (х)
бесконечно большая, то 
—
бесконечно малая.
2.
Если функция α (х)
бесконечно малая и не обращается в
нуль, то 
—
бесконечно большая.