Композиция отображений

Основная статья: Композиция функций

Пусть и  — два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что , но для этого самого однозначно определяется элемент такой, что . То есть, для всякого однозначно определяется элемент такой, что . Другими словами, определено отображение такое, что

для всякого .

Это отображение называется композицией отображений и и обозначается

• либо или ,

• либо (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.

Обратное отображение

Основная статья: Обратная функция

Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение , у которого

• область определения (множество ) совпадает с областью значений отображения  ;

• область значений (множество ) совпадает с областью определения отображения ;

• тогда и только тогда, когда .

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению .

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .

Обычно рассматриваются графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного , которые являются множеством точек плоскости .

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x  N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, y_n,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n2 можно записать:

y1 = 1² = 1;

y2 = 2² = 4;

y3 = 3² = 9;…y_n = n2;…

Вопрос 21

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

• если  , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));

• для любого   выполнено равенство 

f (x + T) = f (x).

Поскольку   то из приведенного определения следует, что f (x – T) = f (x).

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где  , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

функции

График периодической функции обычно строят на промежутке [x₀; x₀ + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.

В заключение отметим свойства периодических функций.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом  .

• Пусть функции f₁ (x) и f₂ (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T₁ > 0 и T₂ > 0. Тогда если   то функция   периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел  и 

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

Другие определения:

• Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).

• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

• Индифферентная функция^{[источник не указан 257 дней]} — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Опрделения Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения  , например, отрезка или интервала.

• Функция   называется чётной, если справедливо равенство

• Функция   называется нечётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется индифферентной

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степень   где   — произвольное целое число.

• Синус  .

• Тангенс  .

Чётные функции

• Чётная степень   где   — произвольное целое число.

• Косинус  .

• Абсолютная величина (модуль)  .