Вопрос 19
Полуплоскость в математике — множество точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости.
Полуплоскость в математике — множество точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости.
Существует множество эквивалентных определений:
многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём.
многоугольник без самопересечений такой, что каждый внутренний угол которого не более 180°;
многоугольник такой, что все его диагонали полностью лежат внутри него;
выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
ограниченное множество являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.
Вопрос 20
Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
Математическое
понятие функции выражает интуитивное
представление о том, как одна величина
полностью определяет значение другой
величины. Так значение переменной
однозначно
определяет значение выражения
,
а значение месяца
однозначно определяет значение
следующего за ним месяца, также любому
человеку можно сопоставить другого
человека — его отца. Аналогично,
некоторый задуманный заранее алгоритм
по варьируемым входным данным выдаёт
определённые выходные данные.
Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.
Аналитический способ
Функция,
как математический объект, представляет
собой бинарное отношение, удовлетворяющее
определенным условиям. Функцию можно
задать непосредственно как множество
упорядоченных пар, например:
есть
функция
.
Однако, этот способ совершенно непригоден
для функций на бесконечных множествах
(каковыми являются привычные вещественные
функции: степенная, линейная, показательная,
логарифмическая и т. п.).
Для
задания функции пользуются выражением:
.
При этом,
есть
переменная, пробегающая область
определения функции, а
—
область значений. Эта запись говорит
о наличии функциональной зависимости
между элементами множеств. х
и y
могут пробегать любые множества объектов
любой природы. Это могут быть числа,
векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги.
Поясним на примере:
Пусть
имеется множество
яблоко,
самолет, груша, стул
и множество
человек,
паровоз, квадрат
.
Зададим функцию f следующим образом:
(яблоко,
человек), (самолет, паровоз), (груша,
квадрат), (стул, человек)
.
Если ввести переменную x, пробегающую
множество
и
переменную y, пробегающую множество
,
указанную функцию можно задать
аналитически, как:
.
Аналогично
можно задавать числовые функции.
Например:
,
где х пробегает множество вещественных
чисел, задает некоторую функцию f. Важно
понимать, что само выражение
не
является функцией. Функция, как объект,
представляет собой множество
(упорядоченных пар). А данное выражение,
как объект, есть равенство двух
переменных. Оно задает функцию, но не
является ею.
Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.