
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Аналитический способ
- •Графический способ
- •Связанные определения Сужение и продолжение функции
- •Образ и прообраз (при отображении)
- •Тождественное отображение
- •Композиция отображений
- •Обратное отображение
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 24 Основные теоремы о пределах
- •Предел последовательности
- •Предел функции в бесконечно удалённой точке
- •Вопрос 25 Предел функции в точке
- •Вопрос 26 непрерывность функции в точке и на множестве
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Вопрос 27 и 28
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
Вопрос 17
Уравнения плоскости
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
Общее уравнение (полное) плоскости
где
и
—
постоянные, причём
и
одновременно
не равны нулю; в векторной
форме:
где
—
радиус-вектор точки
,
вектор
перпендикулярен
к плоскости (нормальный вектор).
Направляющие
косинусы
вектора
:
Если
один из коэффициентов в уравнении
плоскости равен нулю, уравнение
называется неполным.
При
плоскость
проходит через начало
координат,
при
(или
,
)
П. параллельна оси
(соответственно
или
).
При
(
,
или
)
плоскость параллельна плоскости
(соответственно
или
).
Уравнение плоскости в отрезках:
где
,
,
—
отрезки, отсекаемые плоскостью на осях
и
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору нормали
:
в векторной форме:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
, не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где
-
единичный вектор,
—
расстояние П. от начала координат.
Уравнение (2) может быть получено из
уравнения (1) умножением на нормирующий
множитель
(знаки
и
противоположны).
Вопрос 18
Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей:
Если выбрать плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости, то получим канонические уравнения прямой:
где (а, b, с) - данная на прямой точка; l, m, n - проекции на оси координат какого-либо вектора, параллельного данной прямой; числа l, m, n пропорциональны направляющим косинусам прямой:
(знак перед корнями может быть взят любой, но одинаковый во всех трех равенствах; α, β, γ - углы между прямой и осями координат).
Угол φ между двумя прямыми отыскивается из равенства
Условие параллельности двух прямых: l1/l2 = m1/m2 = n1/n2. Условие перпендикулярности: l1l2+m1m2+n1n2=0.
Условие параллельности прямой и плоскости: Аl+Bm+Cn=0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: А/l = В/m = С/n
Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют путем построения вспомогательной прямой линии, лежащей в одной проецирующей плоскости с заданной прямой. На рис. 119, а приведен комплексный чертеж прямой l и плоскости 9 (ABC), причем т ~ Q (ABC). Через горизонтальную проекцию прямой l1 проводим проекцию вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости Sum1. В пересечении плоскостей Q и Sum получаем линию т, то есть т =Sum ^ Q. Горизонтальная проекция прямой т определяется горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения линий ЕС и АС со вспомогательной плоскостью Sum , то есть В1С1 ^ Sum = l1; А1С1 ^ Sum1=21; т1 = l1^21.