10.3. Показатели вариации. Размах вариации. Межквартильный размах
Вариация - это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности.
Понятие вариации рассматривается только для количественных признаков. К её показателям относятся:
размах вариации (R);
дисперсия (S2);
среднеквадратическое отклонение (S);
коэффициент вариации (V).
Вариация тесным образом связана со средним арифметическим значением. Среднее арифметическое даёт обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но оно не раскрывает строения совокупности, которое очень существенно для её анализа.
Среднее не показывает, как располагаются около него варианты значений признака, сосредоточены ли они вблизи среднего значения или значительно отклоняются от него. Среднее арифметическое для двух совокупностей может быть одинаковым; в этом случае все индивидуальные значения отличаются от неё мало, а во втором - эти отличия велики, что имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.
Поэтому и вводятся специальные показатели, которые характеризуют отклонение отдельных значений от среднего. Например, предположим, что обследуются две группы семей по количеству детей.
1-я группа 1 5 3 1 5 Х=3
2-я группа 4 2 3 3 3 Х=3
В среднем каждая группа характеризуется тремя детьми на одну семью, однако в первой группе колебания по каждой семье гораздо более существенны, чем во второй.
Поэтому, анализируя средние значения, необходимо обращать внимание и на отклонения значений от среднего.
Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значением признака, показатель лишь крайних отклонений признака, который не отражает отклонений всех вариантов в ряду.
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений вариантов признака от их среднего арифметического значения.
Дисперсия для несгруппированных данных вычисляется по формуле (10.3):
(10.3)
Дисперсия для сгруппированных данных вычисляется по формуле (10.4):
(10.4)
Межквартильный размах – это размах вариации распределения, охватывающий центральные 50% всех наблюдений. Это разность между 75-м и 25-м процентилями упорядоченного вариационного ряда.
10.4. Стандартное отклонение. Коэффициент вариации
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.
Среднеквадратическое отклонение S равно корню квадратному из дисперсии:
для несгруппированных данных (10.5):
(10.5)
для сгруппированных данных (10.6):
(10.6)
Среднеквадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и значения признака, поэтому хорошо интерпретируется. Например, для двух групп семей:
S1 = 2 S2 = 0,7
Хср1 = 3 Xср2 = 3
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической (10.7):
(10.7)
Коэффициент вариации используется для сравнительной оценки вариации объектов выборки, а также как характеристика однородности совокупности.
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Например, для двух групп семей:
V1 = 66,6%
V2 = 23,3%